Coordenadas do vértice e transformações da parábola Introdução A função quadrática, dada por $y=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0,$ tem um gráfico em forma de parábola com características fixas: existe um vértice único, um eixo de simetria e uma concavidade determinada pelo coeficiente $a$. Nesta aula, o foco é localizar o vértice com precisão e entender como os coeficientes e certas transformações mudam a posição e o formato do gráfico. Os pontos centrais são: como $a$ controla concavidade e abertura; como $c$ determina o intercepto no eixo $y$; como calcular as coordenadas do vértice $(xv,yv)$; como descrever deslocamentos e transformações usando a forma do vértice; como interpretar o vértice em situações práticas (máximo/mínimo), como trajetórias de projéteis. Estrutura da função quadrática A forma padrão é: $y=ax^2+bx+c,\quad a\neq 0.$ Propriedades fundamentais Vértice: ponto extremo da curva (mínimo se $a>0$; máximo se $a<0$). Eixo de simetria: reta vertical que passa pelo vértice. Parábola: o gráfico sempre tem formato parabólico (não é uma reta). Domínio: $\mathbb{R}$ (qualquer valor real pode ser usado como $x$). Papel dos coeficientes na parábola Os coeficientes $a$, $b$ e $c$ determinam como a parábola aparece no plano cartesiano. 2.1 Coeficiente $a$: concavidade e abertura Concavidade Se $a>0$, a parábola tem concavidade para cima (formato “U”) e o vértice é ponto de mínimo. Se $a<0$, a concavidade é para baixo (formato “∩”) e o vértice é ponto de máximo. Abertura (largura da parábola) O valor absoluto $|a|$ controla a “largura”: Se $|a|>1$, a parábola é mais fechada (mais estreita). Se $0<|a|<1$, a parábola é mais aberta (mais larga). Um caso importante é $a=-1$, em que o gráfico é o reflexo de $y=x^2$ em relação ao eixo $x$: $y=-x^2.$ 2.2 Coeficiente $b$: posição horizontal e simetria O coeficiente $b$ está ligado à posição horizontal do vértice e ao eixo de simetria. Ele aparece diretamente na fórmula: $xv=-\frac{b}{2a}.$ Em termos geométricos, $b$ “desloca” a parábola para a esquerda ou para a direita ao alterar onde fica o vértice. 2.3 Coeficiente $c$: intercepto no eixo $y$ O termo $c$ determina o ponto em que a parábola corta o eixo $y$, pois: $y(0)=a\cdot 0^2 + b\cdot 0 + c = c.$ Portanto, o intercepto em $y$ é sempre: $(0,c).$ Coordenadas do vértice $(xv,yv)$ O vértice é o ponto de virada do gráfico: é onde a função para de diminuir e passa a aumentar (se $a>0$), ou para de aumentar e passa a diminuir (se $a<0$). 3.1 Fórmulas do vértice Para $y=ax^2+bx+c$: Abscissa do vértice: $xv=-\frac{b}{2a}.$ Ordenada do vértice: $yv=f(xv).$ Uma forma prática de calcular $yv$ usa o discriminante: $\Delta=b^2-4ac,$ e então: $yv=-\frac{\Delta}{4a}.$ Assim, o vértice é: $V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right).$ 3.2 Máximo e mínimo Se $a>0$, $yv$ é o valor mínimo da função. Se $a<0$, $yv$ é o valor máximo da função. Isso se conecta diretamente à imagem (conjunto de valores de $y$): Se $a>0$, então $\text{imagem}(f)=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge yv\}$. Se $a<0$, então $\text{imagem}(f)=\{y\in\mathbb{R}\mid y\le yv\}$. 3.3 Eixo de simetria O eixo de simetria é: $x=xv.$ Isso garante que: $f(xv-d)=f(xv+d),\quad d\in\mathbb{R}.$ Pontos de interceptação Além do vértice, dois tipos de pontos são muito usados para esboçar o gráfico. 4.1 Zeros da função (raízes) São os valores de $x$ para os quais $y=0$: $ax^2+bx+c=0.$ Quando $\Delta\ge 0$, as raízes reais podem ser encontradas por: $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}.$ Geometricamente, as raízes são as interseções com o eixo $x$: $(x1,0)\ \text{e}\ (x2,0)\quad (\text{quando existem}).$ 4.2 Intercepto em $y$ O intercepto no eixo $y$ é: $(0,c).$ Transformações da parábola Uma forma muito clara de entender deslocamentos é partir da função “pai”: $y=x^2,$ e observar como ela muda quando se altera a expressão. 5.1 Transformação vertical: $y=x^2+k$ Se $k>0$, a parábola sobe $k$ unidades. Se $k<0$, a parábola desce $|k|$ unidades. O vértice muda de $(0,0)$ para: $(0,k).$ 5.2 Transformação horizontal: $y=(x-h)^2$ $y=(x-h)^2$ desloca a parábola horizontalmente. O vértice se move de (0,0) para (h,0). Se $h>0$, o deslocamento é para a direita; se $h<0$, é para a esquerda. De forma equivalente, $y=(x+p)^2$ (com $p>0$) desloca a parábola $p$ unidades para a esquerda, pois equivale a $y=(x-(-p))^2$. O vértice muda de $(0,0)$ para: $(h,0).$ 5.3 Forma do vértice (canônica) A forma canônica é: $y=a(x-h)^2+k.$ Nela, o vértice aparece imediatamente: $V(h,k).$ Além disso: o sinal de $a$ define a concavidade; $|a|$ controla a abertura; $h$ desloca horizontalmente; $k$ desloca verticalmente. 5.4 Relação com a forma padrão A forma padrão $ax^2+bx+c$ pode ser reescrita na forma do vértice por completação de quadrados: $y=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a}.$ Isso confirma que: $h=-\frac{b}{2a},\quad k=-\frac{\Delta}{4a}.$ Aplicação prática: trajetória de projéteis Em muitos modelos simples de lançamento (ignorando resistência do ar), a altura em função do tempo pode ser escrita como uma função quadrática: $h(t)=at^2+bt+c,\quad a<0.$ Como $a<0$, a parábola tem concavidade para baixo, e o vértice representa o ponto de altura máxima. 6.1 Tempo para atingir a altura máxima O tempo do vértice é: $tv=-\frac{b}{2a}.$ Esse valor indica o instante em que o projétil atinge a maior altura. 6.2 Altura máxima A altura máxima é: $h{\max}=h(tv)=yv.$ 6.3 Simetria do movimento Quando o lançamento e a chegada ocorrem no mesmo nível (mesma altura inicial e final), a parábola é simétrica em torno de $t=tv$. Isso implica que: o tempo de subida é igual ao tempo de descida; se o projétil leva $2$ segundos para atingir a altura máxima, então o tempo total de voo tende a ser $4$ segundos nesse modelo. Fechamento O vértice é a peça central para interpretar funções quadráticas: ele fornece o valor máximo ou mínimo e define o eixo de simetria do gráfico. Saber calcular $xv=-\frac{b}{2a}\quad \text{e}\quad yv=-\frac{\Delta}{4a}$ e reconhecer a forma $y=a(x-h)^2+k$ permite entender rapidamente como a parábola se desloca e como seus parâmetros controlam concavidade, abertura e posição no plano. Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/aIOKZ0rFzS4?si=iNrzIkRpaSRKLEWx" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: Entre as funções quadráticas abaixo, qual representa uma parábola com concavidade voltada para cima e que possui a maior abertura? Considere as funções do segundo grau abaixo: I) y = 2x² II) y = -0,5x² III) y = x² + 4x Sobre essas funções, assinale a alternativa correta: Dada a função quadrática $f(x)=x^2-6x+5$, determine as coordenadas do vértice $V(x_v,y_v)$. Considere a transformação da função $y=x^2$ para $y=(x+4)^2-3$. Quais são as coordenadas do novo vértice? Uma bola é lançada e sua trajetória segue a função $h(t)=-5t^2+20t$, onde $h$ é a altura e $t$ o tempo em segundos. Qual a altura máxima atingida? Qual é a interpretação correta do coeficiente $c$ no gráfico de uma função quadrática $y=ax^2+bx+c$? Dada a função $f(x)=-2x^2+8x-6$, a parábola possui um ponto de: Na função $y=a(x-h)^2+k$, o que o valor de $k$ representa diretamente? Determine o valor de $b$ para que a parábola da função $f(x)=x^2+bx+10$ tenha seu eixo de simetria na reta $x=4$. Se multiplicarmos a função $y=x^2$ por $-1$ e somarmos $5$ ao resultado, qual será a nova concavidade e o deslocamento vertical? Uma parábola tem raízes em $x=1$ e $x=5$. Qual é a abscissa do seu vértice? Considere a função y = (x - 3)² + 2. Com base exclusivamente no conteúdo apresentado, escolha a alternativa correta quanto ao deslocamento do gráfico dessa parábola em relação ao gráfico de y = x². A função quadrática genérica $f(x) = 2x^2 + c$ é transladada com precisão $k$ unidades no eixo horizontal, resultando na nova função modelada por $g(x) = 2(x - k)^2 + c$, sob a condição estrutural de que $c < 0$ e $k > 0$. Com base nas propriedades geométricas do vértice e na interpretação do gráfico no plano cartesiano, o que se pode afirmar de forma analítica sobre as raízes reais da função resultante $g(x)$? Considere a função **f(x) = -3x² + 2x - 5**. Qual é a concavidade do gráfico dessa parábola? Considere as funções quadráticas: **f(x) = x² - 4x + 3** **g(x) = x² + 4x + 3** Como o coeficiente 'b' afeta o vértice dessas parábolas? O gráfico da função $f(x) = x^2$ sofre duas transformações geométricas sequenciais: uma translação horizontal de 5 unidades para a direita e uma translação vertical de 3 unidades para baixo. A nova função gerada, $g(x)$, intercepta o eixo das ordenadas em qual ponto do plano cartesiano? Considere duas funções quadráticas $f(x) = 4x^2 - 8x + 5$ e $g(x) = \frac{1}{4}x^2 + x - 2$. Sobre o formato (abertura da concavidade) e a posição de seus respectivos vértices no plano cartesiano, qual afirmação geométrica é estritamente verdadeira? Uma parábola cuja equação base é $y = x^2 - 6x + 8$ intercepta o eixo horizontal nas raízes reais $x_1$ e $x_2$. Se aplicarmos ao gráfico desta função uma translação estrita de 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para cima, qual será a nova lei de formação da função e como se comportarão suas novas raízes no eixo das abscissas? Um fazendeiro dispõe de 100 metros lineares de cerca de arame para construir um curral retangular, aproveitando integralmente um longo muro reto já existente na propriedade como um de seus lados (não necessitando gastar arame neste segmento de barreira). Qual é a equação quadrática que modela a área $A(x)$ do curral em função da largura $x$ (lado perpendicular ao muro), e qual é a área máxima possível que ele pode cercar? O lucro mensal de uma operação corporativa obedece a um modelo quadrático $L(x) = ax^2 + bx + c$. O departamento financeiro constatou que o maior lucro possível no ciclo atinge R\$ 80.000,00, e isso ocorre quando o investimento focado em marketing ($x$) alcança R\$ 10.000,00. Sabe-se ainda que, sem investimento algum na área ($x = 0$), a empresa amarga um prejuízo estático de R\$ 20.000,00. Trabalhando com as variáveis em milhares de reais, qual é a expressão da forma canônica dessa função? A altura $h(t)$ em metros de um projétil lançado do solo é descrita pela função parabólica $h(t) = at^2 + bt$. Sabe-se que o projétil atinge a sua altura máxima de 45 metros exatamente no instante $t = 3$ segundos. Ignorando a resistência do ar e utilizando a forma canônica (forma do vértice), em que instante $t$ o projétil retornará ao nível do solo, e qual é o valor exato do coeficiente $a$? Considere o modelo estático da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, sabendo que seu eixo de simetria repousa na reta perpendicular x = 2 e que o valor de máximo global alcançado no plano atinge a ordenada y = 5. O laudo da banca também atesta que o gráfico cruza o eixo vertical exatamente no ponto (0, 1). Utilizando as propriedades da forma canônica, determine os valores literais dos coeficientes a, b, c e a distância geométrica real mensurada entre as duas raízes formadoras desta parábola.