Sistemas de Equações do 1º Grau Introdução Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações lineares que devem ser satisfeitas simultaneamente. Resolver um sistema significa encontrar valores para as incógnitas que tornem todas as igualdades verdadeiras ao mesmo tempo. Esses sistemas aparecem naturalmente em problemas de preços, idades, trajetos, misturas, produção e organização de quantidades. Em geral, a solução é apresentada como um par ordenado $(x,y)$ (quando há duas incógnitas) ou como uma n-tupla $(x1, x2, \dots, xn)$ (quando há várias incógnitas). Fundamentos 1.1 Equação linear (1º grau) Uma equação do 1º grau com uma incógnita pode ser escrita como: $ax + b = 0,\quad a \neq 0.$ Com duas incógnitas, uma forma comum é: $ax + by = c.$ Com $n$ incógnitas: $a1x1 + a2x2 + \dots + anxn = k.$ Em todos os casos, o maior expoente das incógnitas é $ (não há termos como $x^2$, $xy$, $\sqrt{x}$, etc.). 1.2 O que é um sistema Um sistema do 1º grau é um conjunto de equações lineares, por exemplo: $ \begin{cases} a1x + b1y = c1\\ a2x + b2y = c2 \end{cases} $ O conjunto solução $S$ é o conjunto de todos os pares $(x,y)$ que satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. 1.3 Interpretação geométrica (duas incógnitas) Cada equação do tipo $ax+by=c$ representa uma reta no plano cartesiano. Se as retas se cruzam em um único ponto, o sistema tem uma única solução. Se as retas coincidem (são a mesma reta), o sistema tem infinitas soluções. Se as retas são paralelas e distintas, o sistema não tem solução. Métodos de resolução (sistemas 2x2) A escolha do método depende da “cara” do sistema. Em concursos e provas, o melhor método costuma ser o que reduz contas e diminui risco de erro de sinal. 2.1 Método da Substituição A ideia é isolar uma incógnita em uma equação e substituir na outra. Passos Escolha a equação mais simples e isole uma incógnita. Substitua a expressão obtida na outra equação. Resolva a equação resultante (com uma incógnita). Substitua o valor encontrado em uma equação original para achar a outra incógnita. Exemplo $ \begin{cases} x + y = 9\\ 2x - y = 3 \end{cases} $ Isolando $y$ na primeira: $y = 9 - x$. Substituindo na segunda: $2x - (9 - x) = 3 \Rightarrow 2x - 9 + x = 3 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4.$ Voltando em $y = 9 - x$: $y = 9 - 4 = 5.$ Solução: $S = \{(4,5)\}$. 2.2 Método da Adição (ou Eliminação / Soma) A ideia é somar (ou subtrair) as equações para eliminar uma incógnita. Caso direto (coeficientes opostos) Se aparece $+y$ em uma equação e $-y$ na outra, ao somar as equações a incógnita $y$ desaparece. Caso com multiplicação Se não houver coeficientes opostos, multiplica-se uma (ou ambas) as equações por números convenientes para criar termos opostos. Uma estratégia prática é usar o MMC dos coeficientes da incógnita que se quer eliminar. Exemplo $ \begin{cases} 3x + 2y = 16\\ 5x - 2y = 4 \end{cases} $ Somando as equações: $(3x+2y) + (5x-2y) = 16 + 4 \Rightarrow 8x = 20 \Rightarrow x = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}.$ Substituindo em $3x + 2y = 16$: $3\cdot\frac{5}{2} + 2y = 16 \Rightarrow \frac{15}{2} + 2y = 16 \Rightarrow 2y = 16 - \frac{15}{2} = \frac{32}{2} - \frac{15}{2} = \frac{17}{2}$ $y = \frac{17}{4}.$ Solução: $S = \left\{\left(\frac{5}{2},\frac{17}{4}\right)\right\}$. 2.3 Método da Comparação A ideia é isolar a mesma incógnita nas duas equações e igualar as expressões. Exemplo $ \begin{cases} y = 7 - x\\ y = 10 - 2x \end{cases} $ Igualando: $7 - x = 10 - 2x \Rightarrow 7 + x = 10 \Rightarrow x = 3.$ Então: $y = 7 - 3 = 4.$ Solução: $S = \{(3,4)\}$. 2.4 Método Gráfico A ideia é desenhar as duas retas e identificar o ponto de interseção. Para traçar uma reta $ax + by = c$, é comum achar dois pontos: Interseção com o eixo $x$: faça $y=0$ e resolva para $x$. Interseção com o eixo $y$: faça $x=0$ e resolva para $y$. Exemplo $ \begin{cases} x + y = 6\\ x - y = 2 \end{cases} $ Primeira reta: Se $y=0$, $x=6$ $\Rightarrow (6,0)$ Se $x=0$, $y=6$ $\Rightarrow (0,6)$ Segunda reta: Se $y=0$, $x=2$ $\Rightarrow (2,0)$ Se $x=0$, $-y=2 \Rightarrow y=-2$ $\Rightarrow (0,-2)$ O ponto de interseção (que também pode ser obtido por qualquer método algébrico) é $(4,2)$. Critérios de existência e classificação de soluções 3.1 Classificação (2 equações e 2 incógnitas) Considere: $ \begin{cases} a1x + b1y = c1\\ a2x + b2y = c2 \end{cases} $ SPD (Sistema Possível e Determinado): há uma única solução. Uma forma clássica de verificar é pelo determinante: $\Delta = a1b2 - a2b1.$ Se $\Delta \neq 0$, então o sistema é SPD (as retas se cruzam). SPI (Sistema Possível e Indeterminado): há infinitas soluções (retas coincidentes). Isso ocorre quando as duas equações são proporcionais, ou seja, quando todos os coeficientes e o termo independente de uma equação são um múltiplo constante dos correspondentes na outra. Uma forma geral de verificar (válida mesmo quando a2, b2 ou c2 são zero) é: $a1 \cdot b2 = a2 \cdot b1 \quad \text{e} \quad a1 \cdot c2 = a2 \cdot c1 \quad \text{e} \quad b1 \cdot c2 = b2 \cdot c1.$ Equivalentemente, usando determinantes: o determinante da matriz dos coeficientes (Δ) é zero e os determinantes das matrizes estendidas (Δx, Δy) também são zero. SI (Sistema Impossível): não há solução (retas paralelas distintas). Uma condição típica é: $\frac{a1}{a2} = \frac{b1}{b2} \neq \frac{c1}{c_2}.$ 3.2 Interpretação rápida pelas retas $\Delta \neq 0$: retas concorrentes $\Rightarrow$ uma solução. $\Delta = 0$ e as equações são proporcionais inclusive no termo independente $\Rightarrow$ infinitas soluções. $\Delta = 0$ e apenas os coeficientes são proporcionais, mas os termos independentes não $\Rightarrow$ nenhuma solução. Modelagem de problemas com sistemas Resolver problemas por sistemas costuma seguir um roteiro. 4.1 Roteiro de montagem Defina claramente as incógnitas (o que cada letra representa). Transforme cada informação do enunciado em uma equação. Verifique se você obteve tantas equações quanto incógnitas. Resolva o sistema por um método adequado. Interprete o resultado no contexto do problema (com unidades e sentido). 4.2 Exemplos típicos Problemas de preços Se 2 cadernos e 1 caneta custam R\$ 14,00 e 1 caderno e 3 canetas custam R\$ 13,00, defina: $x$ = preço do caderno $y$ = preço da caneta Monte: $ \begin{cases} 2x + y = 14\\ x + 3y = 13 \end{cases} $ Resolva e interprete: os valores encontrados devem ser coerentes (não negativos, compatíveis com preços). Problemas de idades Se a soma das idades de duas pessoas é 50 e a diferença é 14, defina: $x$ = idade da pessoa mais velha $y$ = idade da pessoa mais nova $ \begin{cases} x + y = 50\\ x - y = 14 \end{cases} $ Problemas de trajetos (movimento uniforme) Quando há distâncias e velocidades constantes, aparece com frequência: $d = vt.$ Se dois trajetos/tempos se relacionam, surgem duas equações lineares nas incógnitas. Verificação e boas práticas 5.1 Como conferir a solução Depois de encontrar $(x,y)$, substitua nas duas equações originais. A solução só é válida se as duas igualdades forem satisfeitas. 5.2 Erros comuns que derrubam pontos Trocar sinais ao “passar” termos de um lado para o outro. Esquecer de multiplicar todos os termos de uma equação ao aplicar um fator. Eliminar uma incógnita e, por distração, eliminar também o termo independente. Arredondar cedo demais: prefira frações até o final, quando possível. 5.3 Escolha estratégica do método Se uma incógnita já está isolada (ou quase), a substituição é rápida. Se há coeficientes opostos (ou fáceis de tornar opostos), a adição reduz contas. Se isolar a mesma incógnita em ambas fica simples, a comparação é eficiente. O método gráfico ajuda a visualizar SPD/SPI/SI e a interpretar a solução geometricamente. Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/cs0BdQyP7ZY?si=lxcO4ahaxlrtJZjS" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: [ENEM 2022] Contexto: Um parque tem dois circuitos de tamanhos diferentes para corridas. Um corredor treina nesse parque e, no primeiro dia, inicia seu treino percorrendo 3 voltas em torno do circuito maior e 2 voltas em torno do menor, perfazendo um total de 1 800 m. Em seguida, dando continuidade a seu treino, corre mais 2 voltas em torno do circuito maior e 1 volta em torno do menor, percorrendo mais 1 100 m. No segundo dia, ele pretende percorrer 5 000 m nos circuitos do parque, fazendo um número inteiro de voltas em torno deles e de modo que o número de voltas seja o maior possível. A soma do número de voltas em torno dos dois circuitos, no segundo dia, será Considere o seguinte sistema de equações: 3x - y = 7 2x + y = 8 Utilizando o método da adição (ou subtração), qual é o valor de y? O sistema de equações $\begin{cases} 2x - 3y = 8 \\ 4x - 6y = 16 \end{cases}$ é classificado como: O sistema $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 6x + 4y = 15 \end{cases}$ possui: Em uma lanchonete, 2 coxinhas e 3 sucos custam R\$ 17,00, enquanto 3 coxinhas e 2 sucos custam R\$ 18,00. O preço de uma coxinha é: A soma das idades de duas pessoas é 45 anos. A idade de uma é o dobro da idade da outra. As idades são: Resolvendo o sistema $\begin{cases} 0,1x + 0,1y = 0,9 \\ 0,1x - 0,1y = -0,3 \end{cases}$, obtém-se: Um comerciante misturou dois tipos de café, um a R\$ 8,00 o kg e outro a R\$ 12,00 o kg, obtendo 50 kg de uma mistura que custa R\$ 10,00 o kg. A quantidade do café mais caro na mistura é: Considere o sistema de equações do primeiro grau: x + y = 8 x - y = 2 Utilizando o método da substituição, qual é o valor de x? Resolva o sistema de equações abaixo: - x + y = 7 - x - y = 3 Qual é o valor de x e y? Resolva o sistema utilizando o método da substituição: - 3x + y = 10 - 2x - y = 4 Qual é o valor de x e y? Uma empresa de tecnologia corporativa encerrou o balanço do mês registrando a venda de exatas 120 licenças digitais. O portfólio da corporação restringe-se ao pacote Standard, faturado a R\$ 150,00 por unidade, e ao pacote Premium, precificado a R\$ 250,00 por unidade. A auditoria fiscal ratificou que a receita bruta final, proveniente exclusivamente dessas licenças, perfez R\$ 20.500,00. Utilizando a modelagem de um sistema de equações do primeiro grau, quantas licenças do tipo Premium foram efetivamente comercializadas? Na análise paramétrica de sistemas lineares, a relação entre os coeficientes e os termos independentes determina a sua classificação. Dado o sistema formado pelas equações $(k - 1)x + 2y = 10$ e $4x + (k + 1)y = 20$, qual deve ser o valor exato do parâmetro $k$ para que este sistema seja classificado como Possível e Indeterminado (SPI), apresentando infinitas soluções reais? O Ministério Público analisa cronologicamente as idades de dois investigados, Alfa e Beta. O laudo pericial aponta que, daqui a 5 anos, a idade de Alfa será exatamente o dobro da idade que Beta deterá na mesma época. Retrocedendo na linha do tempo, constata-se que há exatos 5 anos, a idade de Alfa correspondia ao triplo da idade de Beta naquele mesmo período. Equacionando esse cenário mediante um sistema linear, qual é a soma atual das idades de Alfa e Beta? O método da adição em sistemas lineares visa eliminar uma variável mediante combinações lineares. Considere o sistema formado pelas equações $5x + 7y = 12$ e $3x - 4y = 5$. Para eliminar a variável $y$ multiplicando-se a primeira equação pelo menor inteiro positivo necessário e a segunda equação pelo seu respectivo menor inteiro positivo correspondente, qual será a equação linear resultante unificada após a soma membro a membro? Em um parque industrial, a fabricação dos componentes logísticos A e B passa sequencialmente por duas máquinas matrizes. A máquina 1 demanda 2 horas para processar uma unidade de A e 3 horas para processar uma unidade de B, operando durante um total de 36 horas na semana. A máquina 2 exige 4 horas para a unidade de A e 2 horas para a unidade de B, trabalhando um total de 40 horas semanais. Sendo $x$ o número de peças A e $y$ o número de peças B produzidas nessa semana, determine o valor em módulo da diferença entre a quantidade fabricada de cada peça (isto é, $|x - y|$). Uma lancha hidrográfica navega pelo leito de um rio com o objetivo de testar o desempenho de seu motor. Ao navegar estritamente a favor da correnteza, a embarcação percorre 60 km em exatas 3 horas. No trajeto de retorno, navegando contra a força da correnteza no mesmo trecho de 60 km, a lancha gasta 5 horas para concluir a viagem. Assumindo que o motor da lancha manteve potência constante, qual é a velocidade da correnteza desse rio? Considere o sistema:\n\[ \begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} = 9 \\[1em] \dfrac{x}{3} - \dfrac{y}{3} = \dfrac{2}{3} \end{cases} \]\nO valor de $x + y$ é: O sistema $\begin{cases} 2x + ky = 5 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}$ é possível e determinado. Então $k$ pode assumir qualquer valor, exceto: A representação gráfica de um sistema de equações do primeiro grau é uma ferramenta essencial para a compreensão geométrica da álgebra. Analisando o sistema composto pelas equações lineares $2x - 5y = 10$ e $4x - 10y = 15$, e comparando os coeficientes das incógnitas e os termos independentes, qual é a classificação correta para as posições relativas das retas que representam essas equações no plano cartesiano? No sistema $\\begin{cases} x - 2y = -7 \\\\ 3x + 2y = -5 \\end{cases}$, qual é o resultado imediato da aplicação do método da adição? Considere o sistema de equações formado por $2x + y = 10$ e $x - y = 2$. Qual o valor do par ordenado $(x, y)$ que satisfaz ambas as equações simultaneamente? No método da substituição, qual é o primeiro passo recomendado para resolver o sistema $\\begin{cases} 3x - y = 10 \\\\ x + y = 18 \\end{cases}$? Para resolver o sistema $\\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\\\ 5x - 2y = 1 \\end{cases}$ pelo método da adição, uma estratégia eficaz seria multiplicar a primeira equação por $2$ e a segunda por: Ao resolver o sistema de equações lineares composto por $3x - 5y = 11$ (Equação I) e $4x + 7y = 2$ (Equação II) mediante a aplicação do método da substituição, um estudante decide isolar a variável $x$ na Equação I e substituí-la integralmente na Equação II. Qual será a equação exata obtida imediatamente após essa substituição, antes de qualquer simplificação ou combinação de termos? Determine o valor de $x$ no sistema $\\begin{cases} x + y = 7 \\\\ 2x + y = 10 \\end{cases}$ utilizando o método da comparação. Se $x = 2y$ e $3x + 5y = 55$, qual é o valor de $y$? Resolva o sistema de equações abaixo: - 2x + 3y = 12 - 4x - y = 10 Qual é o valor de x e y? Qual das equações abaixo é considerada linear?