Representação Gráfica de Inequações Introdução Representar uma inequação graficamente é transformar uma desigualdade em um conjunto de pontos visível: na reta real (1 variável) ou no plano cartesiano (2 variáveis). Enquanto uma equação costuma gerar uma linha, uma curva ou um ponto, uma inequação define uma região inteira (um intervalo ou um semiplano), podendo incluir ou excluir a "fronteira" do desenho. Três decisões determinam quase todo o gráfico: Fronteira: qual é a reta/curva que separa as regiões (obtida trocando o símbolo por igualdade). Inclusão: se a fronteira entra ou não na solução (linha contínua ou tracejada; ponto fechado ou aberto). Lado correto: qual região deve ser marcada (teste de ponto ou interpretação "acima/abaixo"). Fundamentos e símbolos 1.1 Desigualdades e inclusão da fronteira Desigualdades estritas:

gt;$ e

lt;$ não incluem a fronteira representação: aberta na reta; tracejada no plano Desigualdades não estritas: $\ge$ e $\le$ incluem a fronteira representação: fechada na reta; contínua no plano 1.2 Resumo visual | Símbolo | Significado | Reta real | Plano cartesiano | | ------- | -------------- | ------------- | ---------------- | |

gt;$ | maior que | ponto aberto | linha tracejada | |

lt;$ | menor que | ponto aberto | linha tracejada | | $\ge$ | maior ou igual | ponto fechado | linha contínua | | $\le$ | menor ou igual | ponto fechado | linha contínua | Representação em uma variável (reta real) Uma inequação em $x$ (por exemplo, $x>4$) gera um intervalo na reta. 2.1 Passo a passo Resolva a inequação até isolar $x$ (como nas inequações do 1º grau). Marque o ponto crítico (o número que aparece ao final). Escolha o tipo de ponto: aberto para

lt;$ e

gt;$ fechado para $\le$ e $\ge$ Sombreie: para a direita se for $x>$ ou $x\ge$ para a esquerda se for $x<$ ou $x\le$ 2.2 Exemplos Exemplo 1 $ x>4 $ ponto aberto em $4$ seta para a direita Intervalo: $ S=(4,+\infty) $ Exemplo 2 $ x\le -2 $ ponto fechado em $-2$ seta para a esquerda Intervalo: $ S=(-\infty,-2] $ Exemplo 3 (intervalo entre dois valores) $ -1<x\le 3 $ ponto aberto em $-1$ e fechado em $3$ Intervalo: $ S=(-1,3] $ Representação em duas variáveis (plano cartesiano) Inequações com $x$ e $y$ (por exemplo, $y\le 2x+1$) definem uma região do plano. A fronteira normalmente é uma reta (1º grau) ou uma curva (2º grau, módulo, etc.). 3.1 Forma reduzida e cuidado com negativos Sempre que possível, isole o $y$: $ y ;\square; ax+b $ Atenção: se você multiplicar/dividir por número negativo para isolar $y$, o símbolo inverte. Exemplo: $ -2y \ge 6x-4 $ Dividindo por $-2$ (inverte o sinal): $ y \le -3x+2 $ 3.2 Procedimento padrão (reta) Considere a inequação: $ y \le 2x + 1 $ Passo 1 — Fronteira Troque por igualdade: $ y = 2x+1 $ Passo 2 — Trace a reta Basta encontrar dois pontos. Um método rápido: Se $x=0$, então $y=1$ $\Rightarrow (0,1)$ Se $y=0$, então $0=2x+1 \Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow \left(-\frac{1}{2},0\right)$ Passo 3 — Estilo da linha $\le$ ou $\ge$ $\Rightarrow$ linha contínua

lt;$ ou

gt;$ $\Rightarrow$ linha tracejada Aqui: $\le$ $\Rightarrow$ contínua. Passo 4 — Região solução (o lado certo) Duas formas seguras: (A) Teste de ponto Escolha um ponto que não esteja na reta, geralmente $(0,0)$ (se a reta não passa pela origem). Substitua na inequação original: Para $(0,0)$: $ 0 \le 2\cdot 0 + 1 \Rightarrow 0 \le 1 \quad (\text{verdadeiro}) $ Então, sombreie o lado que contém $(0,0)$. (B) Interpretação "acima/abaixo" (quando está como $y \square$ e o coeficiente de y é +1) Se a inequação estiver na forma $y < \text{(expressão)}$ ou $y \le \text{(expressão)}$: sombreie a região abaixo da reta. Se estiver na forma $y > \text{(expressão)}$ ou $y \ge \text{(expressão)}$: sombreie a região acima da reta. Atenção: Esta regra visual direta pressupõe que você já isolou o $y$ e seu coeficiente é +1. Se, durante o processo de isolamento, você multiplicou ou dividiu por um número negativo, o sinal da desigualdade já foi invertido e a regra se aplica normalmente à forma final. Em caso de dúvida, prefira o teste de ponto. Exemplos completos no plano Exemplo 1 — inequação estrita (linha tracejada) $ y > -x + 2 $ Fronteira: $ y = -x + 2 $ Dois pontos: $x=0 \Rightarrow y=2 \Rightarrow (0,2)$ $y=0 \Rightarrow 0=-x+2 \Rightarrow x=2 \Rightarrow (2,0)$ Como é

gt;$, a linha é tracejada. Região: como está $y>\dots$, sombreie acima da reta. (Se quiser confirmar: teste $(0,0)$: $0>-0+2$ é falso, então sombreie o lado oposto ao ponto $(0,0)$.) Exemplo 2 — inequação não reduzida (precisa organizar) $ 3x + 2y \le 6 $ Isole o $y$: $ 2y \le -3x + 6 \Rightarrow y \le -\frac{3}{2}x + 3 $ Fronteira: $ y = -\frac{3}{2}x + 3 $ Pontos: $x=0 \Rightarrow y=3 \Rightarrow (0,3)$ $y=0 \Rightarrow 3x=6 \Rightarrow x=2 \Rightarrow (2,0)$ Como é $\le$, reta contínua. Região: $y\le \dots$ $\Rightarrow$ abaixo. Inequações com curvas (2º grau, módulo etc.) A lógica é a mesma: desenhe a curva de fronteira (com igualdade), decida se ela entra (contínua) ou não (tracejada), escolha o lado correto com teste de ponto. Exemplo 1 — parábola $ y \ge x^2 $ Fronteira: $ y = x^2 $ Como é $\ge$, a parábola é contínua. Teste um ponto como $(0,1)$: $ 1 \ge 0^2 \Rightarrow 1 \ge 0 \quad (\text{verdadeiro}) $ Então sombreie a região que contém $(0,1)$: acima da parábola. Exemplo 2 — desigualdade "para baixo" $ y < x^2 - 4 $ Fronteira: $y=x^2-4$ (parábola deslocada para baixo). Como é

lt;$, fronteira tracejada. Região: pontos abaixo da parábola (ou confirme com teste). Sistemas de inequações no plano (interseção de regiões) Quando há várias inequações ao mesmo tempo, a solução é a interseção (a parte comum das regiões). Exemplo — região poligonal simples $ \begin{cases} y \ge 0\\ x \ge 0\\ y \le -x + 4 \end{cases} $ $y\ge 0$: acima do eixo $x$ (inclui o eixo) $x\ge 0$: à direita do eixo $y$ (inclui o eixo) $y\le -x+4$: abaixo da reta (inclui a reta) A região solução é um "triângulo" no 1º quadrante limitado pela reta $y=-x+4$. Erros comuns e como evitar Linha contínua vs. tracejada

gt;$ e

lt;$: tracejada $\ge$ e $\le$: contínua Escolher o lado errado Use o teste de ponto (preferência por $(0,0)$ se não estiver na fronteira). Esquecer de inverter o sinal ao dividir por negativo Se aparecer algo como $-y \le 2$, ao multiplicar por $-1$ vira $y \ge -2$. Reta passando pela origem Se a fronteira passa por $(0,0)$, escolha outro ponto de teste, como $(1,0)$ ou $(0,1)$. Sistema A resposta é sempre a parte comum. Se não houver sobreposição, o conjunto solução é vazio. Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/Yuc1hb1BGyg?si=BUrTqweBslyr19wj" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: Analise a inequação y > 0,5x - 1. Assinale a alternativa que descreve corretamente a representação gráfica da solução dessa inequação no plano cartesiano. No plano cartesiano, a região que representa a solução da inequação $ x - 2y \\leq 4 $ é: Na representação gráfica de inequações do primeiro grau, a escolha entre linha contínua ou tracejada depende: Para a inequação x + 4 <= 0, como deve ser feita a representação gráfica na reta numérica (unidimensional)? Ao testar o ponto de origem (0, 0) na inequação y > -2x - 5, qual conclusão podemos tirar sobre o gráfico? Considere a inequação horizontal y < -3. Como ela é representada no plano cartesiano? Se multiplicarmos ambos os lados da inequação -2x + 4y <= 8 por -1/2, qual será a nova inequação equivalente? Na representação da inequação x > 2 no plano cartesiano (considerando o sistema de duas variáveis, x e y), qual é a característica da reta delimitadora? Para esboçar a região do plano definida pela inequação 2x + 3y < 12, é útil primeiro traçar a reta que delimita essa região. Quais são os pontos de interseção dessa reta com os eixos coordenados? Considere a inequação do primeiro grau 3x + 1 ≤ 10. Sobre a representação da solução dessa inequação na reta numérica, é correto afirmar que: Considere a inequação **3x - 2 ≤ 7**. Resolva a inequação e determine qual a representação correta na reta numérica. Considere a inequação **y > 2x - 3**. Qual das alternativas descreve corretamente a representação gráfica dessa inequação no plano cartesiano? Considere a inequação $ y \\leq 2x - 3 $. Sua representação gráfica no plano cartesiano é uma região: A representação gráfica da inequação $ x > -2 $ na reta real é: Ao resolver a inequação composta $-4 < 3x + 2 \le 11$, um candidato precisa representar o conjunto solução graficamente na reta real. Qual é o resultado algébrico rigoroso dessa operação e a sua correspondente tradução visual geométrica no plano monodimensional? Em modelagens corporativas de otimização via programação linear, um sistema de restrições define o espectro de uma região viável no plano cartesiano. Considere o sistema erguido pelas inequações $x \ge 0$, $y \ge 0$ e $2x + y \le 6$. Sob as lentes métricas, qual é a conformação geométrica descritiva e a área exata do polígono que abarca o conjunto solução simultâneo dessa conjunção? Ao modelar termicamente as perdas de um componente isolante em zona crítica, um físico fixou a inequação delimitadora da anomalia na expressão $-3x - 4y > 12$. A fim de viabilizar a plotagem algorítmica deste laudo através de varredura por semiplanos, o procedimento requer que a variável atinente às ordenadas ($y$) seja analiticamente isolada. Após este processamento, qual desponta como a configuração algébrica final e seu impacto visual projetado no gráfico? Em um projeto de engenharia estrutural paramétrica, a seção transversal de uma viga de sustentação deve respeitar, de maneira estritamente simultânea, o seguinte sistema de inequações lineares no plano: y ≤ x, y ≥ −x e y ≤ 4. Ao representar e sobrepor estas áreas em um software gráfico, forma-se o preenchimento exato de uma figura poligonal. Qual é a área métrica exata desse polígono restritivo delineado no espaço cartesiano? Um plano de zoneamento é definido por um sistema de inequações: y ≥ 2x + 1 e y ≤ 2x - 3. Qual é a conclusão geométrica correta sobre a região de área edificável (solução do sistema)? Resolva a inequação **\-2x + 4 > 6** e determine qual alternativa descreve corretamente o conjunto solução e a representação gráfica. O sistema de inequações $\begin{cases} y \leq 2 \\ x \geq 1 \end{cases}$ tem como representação gráfica uma região que é: Ao representar graficamente a inequação 3x - y > 6 no plano cartesiano, qual é o procedimento CORRETO para determinar a região de sombreamento? O conjunto solução do sistema de inequações $\begin{cases} y \geq x + 1 \\ y < -x + 3 \end{cases}$ no plano cartesiano é representado por uma região que é: Seja a inequação $ 2x + 3y \\leq 6 $. Para esboçar seu gráfico, a reta correspondente à igualdade deve ser traçada e, em seguida, deve-se escolher um ponto de teste. Usando o ponto $(0,0)$, verifica-se que: A representação na reta real do conjunto solução da inequação $ x > -1 $ é: Um perito ambiental delimita uma zona de quarentena toxicológica através da inequação de dispersão (5x - 2y)/10 ≥ 1. Utilizando o método do ponto de teste para determinar qual semiplano deve ser hachurado (representando a contaminação), ele examina a origem (0,0) e o ponto (4,1). Qual é a conclusão correta extraída deste método? Um nutricionista prescreve a infusão de dois nutrientes líquidos, X e Y. Sabe-se que cada ml do nutriente X fornece 2 calorias, e cada ml do nutriente Y fornece 4 calorias. O protocolo clínico estabelece que o total de calorias infundidas dos dois nutrientes não pode ultrapassar 400 calorias. Adicionalmente, o volume basal de infusão do líquido X deve ser estritamente superior a 50 ml. Qual é o sistema de inequações que modela esse cenário? Testando o ponto (60, 40) nesse sistema, o que se pode concluir? O esboço gráfico no plano cartesiano da inequação linear expressa analiticamente por $y > -2x + 4$ apresenta características geométricas específicas. Qual é a configuração exata da fronteira divisória dessa região e a localização espacial do semiplano que compõe o conjunto solução válido?