Progressão Aritmética (P.A.) A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que a variação entre termos consecutivos é constante. Essa ideia sustenta o modelo do crescimento linear: sempre que um fenômeno aumenta (ou diminui) por acréscimos fixos, uma P.A. descreve bem o comportamento. Em avaliações exigentes, o assunto aparece frequentemente combinado com sequências, equações, sistemas, médias, somatórios, contagem de termos e interpretação de enunciados. Por isso, além das fórmulas, é essencial dominar as estratégias de leitura e as propriedades internas da progressão. Conceito e definição formal Uma sequência $(a1, a2, a3, \dots)$ é uma progressão aritmética quando existe um número real $r$ (razão) tal que, para todo $n \ge 2$: $ an = a{n-1} + r $ De forma equivalente (e muito usada em provas), a diferença entre termos consecutivos é constante: $ an - a{n-1} = r $ Critério prático para reconhecer uma P.A. Calcule as diferenças entre termos consecutivos. Se as diferenças forem iguais, a sequência é candidata a P.A. Em exercícios, normalmente bastam as diferenças dos termos fornecidos para concluir. P.A. x P.G. (confusão frequente) P.A.: crescimento aditivo (soma sempre o mesmo $r$). P.G.: crescimento multiplicativo (multiplica sempre a mesma razão $q$). Exemplos: P.A.: $(3, 7, 11, 15, \dots)$ tem $r=4$. P.G.: $(3, 6, 12, 24, \dots)$ tem $q=2$. Razão (r): cálculo, sinais e interpretação A razão é o "passo" fixo da progressão. Cálculo da razão Se você conhece dois termos consecutivos: $ r = an - a{n-1} $ Exemplos: $(2, 5, 8, \dots)$: $r = 5-2 = 3$ (e também $8-5=3$). $(12, 18, 24, \dots)$: $r = 18-12 = 6$. Pegadinha clássica: termos negativos Erros de sinais são um dos tropeços mais comuns. Se $a{n-1}=-7$ e $an=-11$: $ r = an - a{n-1} = -11 - (-7) = -11 + 7 = -4 $ Interpretação de r Se $r>0$, a P.A. é crescente. Se $r<0$, a P.A. é decrescente. Se $r=0$, a P.A. é constante. Classificação e comportamento Tipos de P.A. (pela razão) Crescente ($r>0$): $an > a{n-1}$. Ex.: $(2, 4, 6, 8, \dots)$ Decrescente ($r<0$): $an < a{n-1}$. Ex.: $(10, 8, 6, 4, \dots)$ Constante ($r=0$): todos os termos iguais. Ex.: $(6, 6, 6, 6, \dots)$ P.A. finita e infinita Finita: tem último termo $an$ (número total de termos definido). Infinita: segue indefinidamente (reticências $\dots$). Muitas questões fornecem "primeiro termo" e "último termo"; isso indica, quase sempre, uma P.A. finita. Termo geral (enésimo termo) Para localizar qualquer termo sem construir a sequência inteira: $ an = a1 + (n-1)\,r $ Por que aparece (n − 1)? Do $a1$ até $an$ há exatamente (n−1) intervalos (passos) de tamanho $r$. Fórmula a partir de um termo k Quando $a1$ não é dado, use: $ an = ak + (n-k)\,r $ Isso permite "andar" pela P.A. a partir de qualquer termo conhecido. Exemplo Sequência: $(2, 5, 8, \dots)$, calcular $a{20}$: $a1=2$, $r=3$, $n=20$ $ a{20} = 2 + (20-1)\cdot 3 = 2 + 57 = 59 $ Propriedades internas e simetria Essas propriedades resolvem questões com termos faltando e justificam a fórmula do somatório. 5.1 Termo médio (média aritmética) Em uma P.A., qualquer termo interno é a média dos vizinhos imediatos: $ an = \frac{a{n-1} + a{n+1}}{2} $ Também vale para termos equidistantes: se $m-p = q-m$, então $ am = \frac{ap + aq}{2} $ Exemplo: Considere que $(11, x, y, 26, 31)$ é uma P.A. Nesse caso, o termo $y$ é equidistante de 11 e 31 (pois 11 é o 1º termo e 31 é o 5º, e y é o 3º). Portanto: $ y = \frac{11+31}{2} = 21 $ 5.2 Soma de termos equidistantes dos extremos Em uma P.A. finita com $n$ termos: $ a1 + an = a2 + a{n-1} = a3 + a{n-2} = \cdots $ Essa constância é o mecanismo por trás do pareamento no somatório. 5.3 Termo central quando n é ímpar Se a P.A. finita tem número ímpar de termos, existe um termo central $ac$ que é a média dos extremos: $ ac = \frac{a1 + an}{2} $ Isso permite resolver rapidamente problemas de simetria sem enumerar todos os termos. Soma dos n primeiros termos (somatório $Sn$) Se $(a1, a2, \dots, an)$ é uma P.A. finita, então: $ Sn = \frac{(a1 + an)\,n}{2} $ Por que o pareamento funciona Some o primeiro com o último: $a1 + an$ Some o segundo com o penúltimo: $a2 + a{n-1}$ Cada par tem a mesma soma. Há $n/2$ pares (se $n$ for par) ou pares + termo central (se $n$ for ímpar). A fórmula engloba ambos os casos. Forma alternativa (quando não se tem $an$) Substituindo $an = a1 + (n-1)r$: $ Sn = \frac{n}{2}\,\bigl(2a1 + (n-1)r\bigr) $ Exemplo: soma dos pares de 2 a 100 Sequência: $(2, 4, 6, \dots, 100)$ $a1=2$, $an=100$, $r=2$ Para achar $n$, use $an = a1 + (n-1)r$: 00 = 2 + (n-1)\cdot 2$ $98 = 2(n-1)$ $n-1=49 \Rightarrow n=50$ Agora: $ S{50} = \frac{(2+100)\cdot 50}{2} = 102\cdot 25 = 2550 $ Interpolação aritmética (inserir meios aritméticos) Interpolar $k$ meios aritméticos entre dois números $A$ e $B$ significa construir uma P.A. que: começa em $A$, termina em $B$, possui $k$ termos no meio, mantém a mesma razão. Se inserimos $k$ meios, o total de termos é: $ n = k + 2 $ Como $a1=A$ e $an=B$: $ B = A + (n-1)r $ Logo, o atalho importante é: $ r = \frac{B-A}{n-1} = \frac{B-A}{k+1} $ Exemplo: interpolar 5 meios entre 13 e 55 $A=13$, $B=55$, $k=5$ $n=7$ $ r = \frac{55-13}{7-1} = \frac{42}{6} = 7 $ Sequência: $(13, 20, 27, 34, 41, 48, 55)$ Checklist de domínio Reconhecer P.A. pela constância de $an-a{n-1}$. Calcular $r$ com atenção a sinais (especialmente com negativos). Usar $an = a1 + (n-1)r$ para encontrar termos rapidamente. Usar $an = ak + (n-k)r$ quando o primeiro termo não é dado. Aplicar termo médio: $an = \frac{a{n-1}+a{n+1}}{2}$ e a versão para equidistantes. Explorar simetria: $a1+an$ constante nos pares equidistantes. Somar com $Sn = \frac{(a1+an)n}{2}$ ou $Sn = \frac{n}{2}(2a_1+(n-1)r)$. Interpolar usando $r = \frac{B-A}{k+1}$ e reconstruir os termos.