Inequações do 1º Grau Introdução Inequações (ou desigualdades) do 1º grau são sentenças algébricas em que a incógnita aparece com expoente $ e os membros são ligados por um símbolo de desigualdade. Diferente das equações (que buscam um valor exato), as inequações produzem um conjunto de soluções, normalmente um intervalo de números reais. O ponto mais sensível na resolução é a regra do sinal: ao multiplicar ou dividir a inequação por um número negativo, é obrigatório inverter o sentido da desigualdade. As respostas podem ser expressas em notação de conjunto, intervalos ou na reta real. Fundamentos das inequações do 1º grau 1.1 Definição Uma inequação do 1º grau tem formato geral semelhante a: $ ax+b ;; \square ;; 0 $ em que $a$ e $b$ são reais, $a\neq 0$, e $\square$ pode ser

gt;$,

lt;$, $\ge$, $\le$. 1.2 Símbolos de desigualdade

gt;$ : maior que (não inclui o extremo)

lt;$ : menor que (não inclui o extremo) $\ge$ : maior ou igual a (inclui o extremo) $\le$ : menor ou igual a (inclui o extremo) Na reta real: bolinha aberta: extremo não pertence à solução (

gt;$,

lt;$) bolinha fechada: extremo pertence à solução ($\ge$, $\le$) Regras operatórias essenciais 2.1 Regras que NÃO mudam o sentido do sinal Se você somar ou subtrair o mesmo número dos dois lados, o sentido da desigualdade não muda: $ a>b \Rightarrow a+c>b+c $ Se você multiplicar ou dividir por um número positivo, o sentido também não muda: $ a>b,; k>0 \Rightarrow ak>bk \quad \text{e} \quad \frac{a}{k}>\frac{b}{k} $ 2.2 Regra de ouro: multiplicar/dividir por negativo INVERTE o sinal Se você multiplicar ou dividir por um número negativo, o sentido da desigualdade inverte: $ a>b,; k<0 \Rightarrow ak<bk \quad \text{e} \quad \frac{a}{k}<\frac{b}{k} $ Exemplo rápido: $ -2x>6 \Rightarrow x< -3 $ (ao dividir por $-2$, o

gt;$ vira

lt;$). Metodologia de resolução (passo a passo) A resolução lembra a de equações do 1º grau, com atenção ao sinal: Organize os termos: incógnitas de um lado e constantes do outro. Some/subtraia para reduzir termos semelhantes. Isole o $x$ dividindo pelo coeficiente de $x$. Se dividir por número negativo, inverta o sinal da desigualdade. Escreva o conjunto solução (intervalo/conjunto/reta real). Cheque testando um valor do intervalo na inequação original. Representação do conjunto solução 4.1 Notação de conjunto Exemplo: $ S={x\in \mathbb{R}\mid x>10} $ 4.2 Notação de intervalo Aberto: $(10,+\infty)$ Fechado em um extremo: $(-\infty,4]$ Entre dois números: $(2,7)$ (não inclui 2 nem 7) $[2,7)$ (inclui 2, não inclui 7) $[2,7]$ (inclui ambos) 4.3 Reta real (interpretação) $x>10$: bolinha aberta em 10 e seta para a direita $x\le 4$: bolinha fechada em 4 e seta para a esquerda Exemplos resolvidos Exemplo 1 — inequação direta Resolver: $ 3x-5<10 $ Somando $5$: $ 3x<15 $ Dividindo por $3$ (positivo): $ x<5 $ Solução: $ S=(-\infty,5) $ Exemplo 2 — coeficiente negativo (inversão do sinal) Resolver: $ -4x+1\ge 9 $ Subtraindo $: $ -4x\ge 8 $ Dividindo por $-4$ (negativo, inverte o sinal): $ x\le -2 $ Solução: $ S=(-\infty,-2] $ Exemplo 3 — com parênteses Resolver: $ 2(x-3)\le x+5 $ Distribuindo: $ 2x-6\le x+5 $ Trazendo $x$ para a esquerda e constantes para a direita: $ 2x-x\le 5+6 \Rightarrow x\le 11 $ Solução: $ S=(-\infty,11] $ Inequações fracionárias (quando há denominadores) Quando aparecem frações, uma forma segura é eliminar denominadores multiplicando ambos os membros pelo MMC (mínimo múltiplo comum) dos denominadores. É fundamental atentar para o sinal do fator multiplicador: se for positivo, o sentido da desigualdade se mantém; se for negativo, o sentido deve ser invertido. Em inequações do 1º grau com denominadores que são números constantes (ex: 2, -3, 5), o MMC será uma constante positiva, e o procedimento é direto, aplicando-se a regra de inversão apenas se, por algum motivo, o fator multiplicador resultasse negativo. Exemplo 4 — fração com denominadores numéricos Resolver: $ \frac{3x-1}{4}\le 2 $ Multiplicando por $4$ (positivo): $ 3x-1\le 8 $ Somando $: $ 3x\le 9 $ Dividindo por $3$: $ x\le 3 $ Solução: $ S=(-\infty,3] $ Sistemas de inequações (intersecção) Um sistema pede valores que satisfazem todas as inequações ao mesmo tempo. O conjunto solução é a intersecção. Exemplo 5 — sistema simples Resolver: $ \begin{cases} x>1\\ x\le 5 \end{cases} $ Intersecção: $ S=(1,5] $ Exemplo 6 — sistema com duas expressões Resolver: $ \begin{cases} 2x-3\ge 1\\ x+4<10 \end{cases} $ Primeira: $ 2x\ge 4 \Rightarrow x\ge 2 $ Segunda: $ x<6 $ Intersecção: $ S=[2,6) $ Aplicações práticas (modelagem) Cenário A — orçamento máximo Uma pessoa tem $R$,80,00. Paga $R$,$60,00 de entrada e $R$,$8,00 por brinquedo. Quantos brinquedos, no máximo? Modelo: $ 60+8x\le 180 $ Resolvendo: $ 8x\le 120 \Rightarrow x\le 15 $ Como $x$ é quantidade (natural), máximo: $ x{\max}=15 $ Cenário B — comparação de salários (mínimo para "ganhar mais") Empresa A: $R$,$800,00 + $R$,$2,00 por unidade vendida. Empresa B: $R$,$500,00 + $R$,$2,50 por unidade vendida. Queremos B maior que A: $ 2{,}50x+500>2{,}00x+800 $ Subtraindo $2{,}00x$: $ 0{,}50x+500>800 $ Subtraindo $500$: $ 0{,}50x>300 $ Dividindo por $0{,}50$: $ x>600 $ Como $x$ é inteiro, mínimo: $ x{\min}=601 $ Cenário C — "maior inteiro que satisfaz" Se ao resolver você obtiver: $ x\le 1{,}875 $ E a questão pedir o maior inteiro que satisfaz: $ x{\max}=1 $ Dicas para provas Procure palavras-chave: "no mínimo", "no máximo", "maior que", "pelo menos", "não pode ultrapassar". Conjunto universo importa: Se $x\in \mathbb{N}$, descarte valores negativos e decimais. Se $x\in \mathbb{Z}$, pode ser negativo, mas não decimal. * Se $x\in \mathbb{R}$, vale intervalo completo. Atenção total ao negativo: dividir por número negativo exige inverter o sinal. Cheque rápido: escolha um valor dentro do intervalo e substitua na inequação original. Representação correta: use intervalo e indique se o extremo entra (aberto/fechado). Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/rHamZ_3EoA?si=KseJ7jlRw3Rj6KU1" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: Considere a inequação: **2x - 7 ≤ 5** Qual o conjunto solução? Resolva a inequação fracionária \frac{x}{4} - \frac{x}{6} ≤ 3. Qual o intervalo de solução? Considere a inequação: -4x + 10 > 2. Qual é o conjunto solução dessa inequação? Considere a inequação $ -3x + 5 \\leq 2x - 10 $. O conjunto solução, representado na reta real, é: O conjunto solução da inequação $ 2(x - 3) + 4 \\geq 3x - 5 $ é: Resolvendo a inequação $ \\frac{x}{2} + 1 < \\frac{x}{3} + \\frac{4}{3} $, obtém-se: O conjunto de todos os números reais $x$ que satisfazem simultaneamente as inequações $ 2x - 5 \\geq 1 $ e $ 3x + 2 \\leq 14 $ é: Uma empresa de telefonia oferece dois planos:\nPlano A: R$ 30,00 fixos mais R$ 0,10 por minuto de ligação.\nPlano B: R$ 20,00 fixos mais R$ 0,20 por minuto.\nA partir de quantos minutos de uso mensal o Plano A é mais vantajoso (custo menor) que o Plano B? Ao resolver a inequação $ -2x + 3 > 5 $, um aluno escreveu $ -2x > 2 $ e depois multiplicou por $-1$, obtendo $ 2x < -2 $. Sobre esse procedimento, é correto afirmar que: O maior número inteiro que satisfaz a inequação $ \\frac{3x - 2}{4} - \\frac{x}{2} \\leq \\frac{1}{3} $ é: O conjunto solução da inequação $ \\frac{x}{4} + \\frac{x}{2} \\leq 6 $ é: Qual é o conjunto solução da inequação -2x + 6 < 10 no conjunto dos números reais? Ao resolver a inequação 3(x - 2) ≥ 2x + 1, qual valor de x satisfaz a condição? Considere o sistema de inequações: 10x - 2 ≥ 4 e 6x + 8 < 2x + 10. Qual é a solução final? Qual é o menor número inteiro k que satisfaz a inequação 8 - 3(2k - 1) < 0? Qual o maior valor inteiro que satisfaz a inequação x ≤ \frac{30}{16}? Resolva a inequação 4 - 3x < 2x - 12. Qual a solução correta? Resolva a inequação a seguir e assinale a alternativa correta sobre o conjunto solução: 5x - 3 > 2x + 6 Considere a inequação -3x + 4 ≤ 1. Qual é o conjunto solução? Resolva a inequação abaixo: 2x + 4 ≥ 12 Alternativas: A) x ≥ 6 B) x ≤ 4 C) x ≥ 4 D) x ≤ 6 Resolva a seguinte inequação e encontre o conjunto solução: 3x - 5 < 10 Resolva a inequação e identifique o conjunto solução: \-5x + 3 < -7 A resolução de um sistema de inequações do primeiro grau, composto pelas restrições $2x - 4 > 0$ e $3x + 6 \le 21$, exige a determinação de um conjunto solução perfeitamente simultâneo. Algebricamente, como se define o procedimento correto e como se representa geometricamente o intervalo que satisfaz ambas as condições? O departamento de recursos humanos de um órgão estatal possui um teto orçamentário inegociável de R\$ 15.000,00 para custear um seminário de capacitação dos auditores. O centro de convenções cobra uma taxa fixa de locação de R\$ 3.500,00 e um custo adicional de R\$ 120,00 por servidor inscrito (referente a material didático e alimentação). Qual é a inequação que modela fidedignamente esta barreira financeira e qual é o número máximo exato de servidores que poderão participar do evento? Na resolução de inequações envoltas por estruturas fracionárias mistas, a exemplo da modelagem $\frac{5 - 2x}{3} \ge \frac{x - 1}{4}$, a eliminação dos denominadores deve ser executada com atenção profunda para não distorcer o domínio. Qual é a sucessão escorreita de passos algébricos que conduz ao genuíno intervalo de solução desta equação desigual? A precisa modelagem semântica de textos legislativos figura como preceito decisório em certames focados em lógica restritiva. Considere que o texto base decrete de forma cogente que 'A receita tributária auferida pelo município, subtraída de sua terça parte, deve ser **superior em, pelo menos, 50 mil reais** à metade do teto de isenção local'. Adotando $R$ como referencial da Receita e $T$ como o Teto de Isenção, qual alternativa traduz de forma exata o preceito imposto no bojo da lei? O plano de viabilidade financeira de uma startup digital estabelece que o custo fixo mensal da operação é de R\$ 12.000,00, existindo ainda um custo variável de R\$ 18,00 por licença de software comercializada. Se a diretoria determinou que o preço de venda de cada licença será fixado em R\$ 45,00, qual deve ser o volume mínimo de licenças inteiras vendidas no mês para que a empresa atinja um superávit (lucro estritamente positivo)? Ao multiplicar uma inequação como -x < 6 por -1, qual é o procedimento correto? Uma prefeitura analisa propostas de duas empresas distintas para o contrato anual de manutenção preventiva de sua frota. A Empresa Alfa cobra uma taxa de adesão de R$ 4.200,00 mais R$ 350,00 por cada veículo efetivamente revisado. A Empresa Beta propõe uma adesão de R$ 2.000,00 somada a R$ 450,00 por veículo revisado. Para que a contratação da Empresa Alfa consagre-se como estritamente mais vantajosa (ou seja, resulte em um custo total rigorosamente inferior) em relação à Empresa Beta, qual deve ser a quantidade mínima de veículos submetidos à revisão? Durante o planejamento de execução orçamentária, a liberação de repasses mensais a uma autarquia subalterna é balizada por uma restrição legal. Essa restrição, que relaciona a quantidade máxima de parcelas de repasse (representada por x), é formulada pela inequação $5(x - 3) - 2(x + 1) \le x + 10$. Sabendo que x deve ser um número inteiro, qual é o número máximo de repasses que poderá ser executado sem violar os limites impostos pela lei? Resolva a seguinte inequação do primeiro grau: -4x + 6 > 2. Qual o conjunto solução?