Frações e Números Decimais Introdução Frações e números decimais são duas maneiras de representar a mesma ideia: quantidades que não precisam ser inteiras. Ambos pertencem ao conjunto dos números racionais, $\mathbb{Q}$, isto é, todos os números que podem ser escritos como uma razão $\frac{a}{b}$, com $a \in \mathbb{Z}$, $b \in \mathbb{Z}$ e $b \neq 0$. O ponto decisivo para dominar esse tema é perceber que: toda fração pode ser escrita como decimal (basta dividir); todo decimal finito pode ser escrito como fração (basta “tirar a vírgula” e usar potência de 10); decimais periódicos também são frações, mas exigem a técnica da fração geratriz; a posição da vírgula e as potências de 10 são o motor por trás de quase todas as regras operacionais. Frações: conceito, estrutura e leitura 1.1 O que é uma fração? Uma fração $\frac{a}{b}$ representa: parte de um todo dividido em $b$ partes iguais (tomando $a$ dessas partes), e/ou a divisão $a \div b$. Numerador ($a$): quantas partes estamos considerando. Denominador ($b$): em quantas partes iguais o todo foi dividido, com $b \neq 0$. Exemplo: $\frac{3}{4}$ pode significar “3 de 4 partes iguais” ou “3 dividido por 4”. 1.2 Tipos principais de frações Própria: $|a| < |b|$ (o valor absoluto da fração é menor que 1). Ex.: $\frac{2}{5}$. Imprópria: $|a| \ge |b|$ (o valor absoluto da fração é maior ou igual a 1). Ex.: $\frac{7}{4}$, $-\frac{5}{3}$. Aparente: $a$ é múltiplo de $b$ (resulta em um número inteiro). Ex.: $\frac{12}{4} = 3$. Mista: inteiro + fração própria. Ex.: $2\frac{1}{3}$. Equivalentes: diferentes, mas com o mesmo valor. Ex.: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Irredutível: não dá para simplificar (numerador e denominador são “primos entre si”), isto é, $\text{mdc}(a,b)=1$. 1.3 Frações equivalentes e simplificação (ideia-chave) Frações equivalentes surgem ao multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número $k \neq 0$: $\frac{a}{b} = \frac{a\cdot k}{b\cdot k}$ Exemplo: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ (dividindo por 3). A simplificação mais eficiente costuma usar o MDC: $\frac{a}{b} = \frac{a\div d}{b\div d}, \quad d=\text{mdc}(a,b)$ Números decimais: estrutura e significado das casas 2.1 Parte inteira e parte decimal Um decimal tem: parte inteira (antes da vírgula); parte decimal (depois da vírgula). Exemplo: em 30,824$, a parte inteira é 130 e a parte decimal é 824 milésimos. 2.2 Valor posicional (base 10) Cada casa decimal representa uma fração com denominador potência de 10: 1ª casa: décimos $= \frac{1}{10}$ 2ª casa: centésimos $= \frac{1}{100}$ 3ª casa: milésimos $= \frac{1}{1000}$ 4ª casa: décimos de milésimo $= \frac{1}{10000}$ Assim: $0,1 = \frac{1}{10}$ $0,01 = \frac{1}{100}$ $0,001 = \frac{1}{1000}$ E por composição: $1,25 = 1 + \frac{25}{100}$ A ponte entre frações e decimais 3.1 Fração → decimal Basta dividir o numerador pelo denominador: $\frac{a}{b} = a \div b$ Exemplos: $\frac{1}{4} = 1\div 4 = 0,25$ $\frac{3}{8} = 0,375$ $\frac{1}{3} = 0,333\ldots$ (aqui aparece uma dízima periódica) Observação importante: Uma fração tem decimal finito quando, na forma irredutível, o denominador tem apenas fatores 2 e/ou 5, isto é: $b = 2^m \cdot 5^n$ Exemplos: $\frac{7}{20}$ (20 = $2^2\cdot 5$) → decimal finito. $\frac{1}{6}$ (6 = $2\cdot 3$) → decimal infinito periódico (porque tem fator 3). 3.2 Decimal finito → fração Regra prática: tire a vírgula e coloque o número inteiro no numerador; no denominador, use 0^n$ (1 com $n$ zeros), onde $n$ é o número de casas decimais; simplifique. Se $x$ tem $n$ casas decimais, então: $x = \frac{\text{(x sem vírgula)}}{10^n}$ Exemplos: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$ $2,75 = \frac{275}{100} = \frac{11}{4}$ 3.3 Decimal periódico → fração (fração geratriz) Aqui está o ponto que mais “destrava” o assunto. (a) Periódico simples: $0,\overline{p}$ Se $x = 0,\overline{3}$: multiplique por 10 (porque há 1 dígito no período): 0x = 3,\overline{3}$ subtraia: 0x - x = 3,\overline{3} - 0,\overline{3} = 3$ então $9x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ Regra geral (período com $k$ algarismos): Se $x = 0,\overline{p}$ com $k$ dígitos no período, então: $x = \frac{p}{10^k - 1}$ Ex.: $0,\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$ (b) Periódico composto: $0,ab\overline{c}$ Exemplo: $x = 0,12\overline{3}$ há 1 dígito no período (3) e 2 no “não periódico” (12) multiplique por 0^2$ para “mover” a parte não periódica: 00x = 12,\overline{3}$ agora multiplique por 0^1$ (tamanho do período) e subtraia: 000x = 123,\overline{3}$ 000x - 100x = 111$ $900x = 111 \Rightarrow x = \frac{111}{900} = \frac{37}{300}$ Operações com decimais (com precisão) 4.1 Adição e subtração O princípio é alinhamento posicional: alinhe vírgula com vírgula; se necessário, complete com zeros à direita. Exemplo: 2,4 = 12,40$ para comparar/somar com 2,31$. 4.2 Multiplicação Método mais usado: ignore a vírgula e multiplique como inteiros; no resultado, coloque a vírgula com o total de casas decimais somadas. Se $a$ tem $m$ casas e $b$ tem $n$ casas, então $a\cdot b$ terá $m+n$ casas. Exemplo: $2,25$ (2 casas) $\times 3,5$ (1 casa) $225 \times 35 = 7875$ resultado com 3 casas: $7,875$ 4.3 Divisão O objetivo é transformar o divisor em inteiro. Se você tem $3,6 \div 0,4$: multiplique ambos por 10: $36 \div 4 = 9$ Regra geral: multiplique dividendo e divisor por 0^k$ até o divisor virar inteiro. Operações com frações (e a conexão com decimais) 5.1 Quando operar em fração e quando em decimal? Use frações quando o problema exige exatidão simbólica ou simplificação: $\frac{1}{3}$ é melhor que $0,333\ldots$. Use decimais quando o contexto é monetário/medidas e pede aproximação controlada: R$ 12,90; 1,75 m. 5.2 Adição e subtração de frações denominadores iguais: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{b} = \frac{a\pm c}{b}$ denominadores diferentes: use $\text{mmc}$ ou produto cruzado: $\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$ 5.3 Multiplicação e divisão multiplicação: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ divisão: $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ Dica de ouro: simplifique antes de multiplicar (cancelamento) para evitar números grandes. Comparação: quem é maior? 6.1 Comparar decimais compare a parte inteira; se empatar, compare casa por casa; se necessário, complete com zeros. Ex.: 2,40 > 12,31$. 6.2 Comparar frações denominadores iguais: maior numerador vence. denominadores diferentes: produto cruzado: $\frac{a}{b} > \frac{c}{d} \iff ad > bc$ Ex.: $\frac{3}{7}$ vs $\frac{2}{5}$ $3\cdot 5 = 15$ e $2\cdot 7 = 14$ → $\frac{3}{7} > \frac{2}{5}$. 6.3 Comparar fração com decimal Converta um lado: $\frac{1}{8} = 0,125$ compare com $0,12$ → $0,125 > 0,12$. Potências de 10 e “movimento da vírgula” 7.1 Multiplicar por 0^n$ Desloca a vírgula $n$ casas para a direita: $7,4\cdot 100 = 7,4\cdot 10^2 = 740$ 7.2 Dividir por 0^n$ Desloca $n$ casas para a esquerda: $247,5 \div 100 = 2,475$ 7.3 Zeros à direita não alteram o valor $0,5 = 0,50 = 0,500$ Isso é útil para alinhar casas e comparar. Porcentagem: o elo cotidiano entre fração e decimal Porcentagem é “por 100”: $p\% = \frac{p}{100}$ Logo: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$ 2,5\% = \frac{12,5}{100} = 0,125 = \frac{1}{8}$ Calcular $40\%$ de 300: $0,4 \cdot 300 = 120$ ou $\frac{40}{100}\cdot 300 = 120$ Estratégia de prova e erros que mais derrubam 9.1 Checklist rápido Fração → decimal: dividir. Decimal finito → fração: “tirar vírgula” sobre 0^n$. Decimal periódico → fração: fração geratriz (subtração de expressões). Multiplicação de decimais: somar casas. Divisão de decimais: tornar o divisor inteiro. Sempre simplificar frações no final: use $\text{mdc}$. Atenção ao formato pedido (fração ou decimal) e a arredondamento. 9.2 Armadilhas clássicas Esquecer que $\frac{1}{3}$ não é $0,33$ (isso é aproximação). Erro de casa decimal em $2,25\times 3,5$ (muita gente responde $78,75$ por posicionar a vírgula errado). Dividir por decimal sem “limpar” o divisor (ex.: $0,4$). Comparar decimais sem igualar casas (ex.: achar que $0,9 < 0,10$ porque 9 < 10). Conclusão Frações e decimais são duas linguagens para o mesmo conteúdo: números racionais $\mathbb{Q}$. Você ganha domínio real quando consegue alternar entre as representações com naturalidade e escolher a mais vantajosa para cada situação. Em provas e no cotidiano, a precisão vem de três pilares: entender o valor posicional (potências de 10); operar com regras estruturais (denominadores, inverso, casas decimais); finalizar com simplificação e atenção ao formato pedido. Se você dominar conversão, comparação e operações, o resto do conteúdo de aritmética (razão, proporção, porcentagem, equações com racionais) fica muito mais fácil. Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/XqnVzFHaXHM?si=W6lWMJU2R51FGz3_" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: Qual é o número decimal correspondente à fração **3/4**? Ao converter o número misto $2\frac{3}{4}$ em uma fração imprópria, qual valor obtemos? Como se lê corretamente o número decimal 30{,}824$? Qual é o valor decimal correspondente à fração $\frac{5}{8}$? Transformando o número decimal $0{,}375$ em uma fração simplificada, chegamos a qual resultado? Qual é o resultado correto da adição $2{,}4 + 1{,}713$? Ao dividir o número 0$ por 6$, o resultado é um número decimal exato. Qual é esse valor? Uma pessoa leu $45\%$ de um livro de $200$ páginas. Quantas páginas faltam para ela terminar a leitura? Qual é a representação fracionária simplificada do número decimal $0{,}005$? Converta a fração 3/5 para a sua forma decimal. Converta o número decimal 0,32 em uma fração na sua forma mais simples. Em programação de sistemas financeiros, evitar dízimas infinitas é crucial para não gerar erros de arredondamento em ponto flutuante na base 10. A aula ressalta que toda fração tem representação decimal, mas apenas algumas resultam em "decimais finitos". Sob a ótica da teoria dos números racionais, qual condição a fração irredutível $\frac{a}{b}$ deve estritamente satisfazer para que sua representação decimal seja exata (finita)? Um arquiteto está projetando uma escadaria reta para interligar dois pavimentos de um edifício. A altura total entre os pisos é de $3,15$ metros. A norma de ergonomia escolhida para o projeto exige que o espelho de cada degrau (altura do degrau) tenha exatamente $0,175$ metros. Utilizando as regras operatórias de divisão de números decimais, quantos degraus comporão essa escadaria? Frequentemente, alunos se deparam com a dízima periódica $0,\overline{9}$ e intuitivamente assumem que ela é "quase 1", mas um pouco menor. No rigor da álgebra e da conversão de decimais periódicos para frações, qual é a relação exata entre o número decimal $0,\overline{9}$ e o número inteiro $? A regra prática para a multiplicação de números decimais estabelece que devemos ignorar as vírgulas, multiplicar os valores como se fossem inteiros e, ao final, posicionar a vírgula no resultado somando a quantidade de casas decimais dos fatores originais. Qual é a fundamentação estrutural que justifica a obrigatoriedade de somar (e não multiplicar ou manter) as casas decimais? Um lojista realizou uma grande liquidação e aplicou um desconto generalizado de 12,5% em todos os itens. No último dia, sobre o valor já com desconto, ele aplicou mais um abatimento de 12,5%. Se um determinado produto custava R$ 640,00 antes de qualquer promoção, qual foi o preço final de venda após a aplicação desses dois descontos sucessivos? Qual das frações abaixo é equivalente a **2/3**? Qual das opções abaixo representa uma fração própria? Durante a calibração de um sensor de precisão, um engenheiro obteve uma leitura constante e infinita no visor, registrada como $2,1363636...$ milímetros. Para inserir essa medida em um software de cálculo estrutural que aceita apenas frações irredutíveis, ele precisa converter essa dízima periódica composta em sua fração geratriz. Qual é a fração irredutível que representa exatamente essa medida? Ao modelar um algoritmo de precificação que utiliza números racionais na forma decimal, um programador precisa consolidar a seguinte expressão em uma única constante $K$: $ K = \frac{0,\overline{3} \cdot 1,5 + 0,125}{0,5} $ Convertendo os termos para frações para facilitar os cálculos exatos, qual é o valor decimal da constante $K$?