Fórmula Geral da Progressão Geométrica (PG) A Progressão Geométrica (PG) é o modelo mais básico e, ao mesmo tempo, mais poderoso para descrever variações multiplicativas. Em muitos problemas, a grande dificuldade não está em “calcular termos”, mas em enxergar a estrutura exponencial escondida no enunciado: duplicar, triplicar, reduzir pela metade, aplicar porcentagens sucessivas, manter uma taxa fixa de crescimento/decrescimento por etapa. O ponto central desta aula é dominar a fórmula do termo geral (também chamada de fórmula geral da PG), saber deduzi-la, interpretá-la e aplicá-la com segurança tanto para: encontrar um termo distante sem listar toda a sequência; comparar termos em posições diferentes; descobrir a razão $q$; encontrar a posição $n$ de um termo conhecido; reconhecer situações em que surgem equações exponenciais e, quando necessário, logaritmos. Definição formal e razão $q$ Uma sequência $(a1, a2, a3, \dots)$ é uma Progressão Geométrica quando existe uma constante real $q$ tal que, para todo $n \ge 1$: $a{n+1} = an \cdot q$ Essa constante $q$ é a razão (ou quociente) da PG. Como identificar a razão Se $an \neq 0$, a razão pode ser obtida por: $q = \frac{a{n+1}}{an}$ Observações importantes: Se algum termo for $0$, a divisão pode deixar de ser válida naquele ponto. Ainda assim, a PG pode existir (por exemplo, com $q=0$ ou quando o termo inicial é $0$), mas é preciso analisar caso a caso. Em problemas de prova, quando aparecem termos consecutivos diferentes de zero, essa divisão é o método mais direto para encontrar $q$. Taxonomia: como $q$ controla o comportamento Antes mesmo de calcular qualquer coisa, é útil prever o comportamento da sequência. Isso evita erros de sinal, de interpretação e de comparação. 2.1 Casos principais $q > 1$ Se $a1>0$: os termos aumentam (crescimento acelerado). Se $a1<0$: os termos ficam cada vez mais negativos (módulo cresce), e a sequência é decrescente. $0 < q < 1$ Os termos diminuem em valor absoluto (módulo). Para um número infinito de termos, o limite da sequência é zero. Se $a1>0$: sequência decrescente positiva (cada termo é menor que o anterior). Se $a1<0$: sequência crescente negativa (cada termo é maior que o anterior, mas ainda negativo, aproximando-se de zero por valores inferiores). $q = 1$ Sequência constante: $an = a1$ para todo $n$. $q < 0$ Sequência alternada: os sinais se alternam conforme a paridade de $n$: Se $|q| > 1$: o módulo $|an|$ cresce em valor absoluto, e os termos oscilam entre valores cada vez maiores em magnitude; Se $|q| = 1$ (ou seja, $q = -1$): o módulo $|an|$ permanece constante e igual a $|a1|$, havendo apenas alternância de sinal; Se $|q| < 1$: o módulo $|an|$ diminui em valor absoluto, aproximando-se de zero. Essa alternância impede classificar a sequência como 'crescente' ou 'decrescente' no sentido usual. $q = 0$ $(a1, 0, 0, 0, \dots)$: após o primeiro termo, todos os demais são nulos. 2.2 Alternância de sinais quando $q<0$ Se $q<0$, então: $an = a1\,q^{n-1}$ Como $q^{n-1}$ muda de sinal conforme o expoente, vale a regra prática: se $n$ é ímpar, $n-1$ é par, então $q^{n-1}>0$ e $an$ tem o mesmo sinal de $a1$; se $n$ é par, $n-1$ é ímpar, então $q^{n-1}<0$ e $an$ tem sinal oposto ao de $a1$. Isso é crucial em somas e comparações: uma PG alternada não tem comportamento “crescente/decrescente” no sentido usual, porque oscila. Dedução da fórmula do termo geral A fórmula do termo geral surge do acúmulo de fatores $q$. Comece com o primeiro termo: $a1 = a1\cdot q^0$ $a2 = a1\cdot q$ $a3 = a2\cdot q = (a1\cdot q)\cdot q = a1\cdot q^2$ $a4 = a3\cdot q = (a1\cdot q^2)\cdot q = a1\cdot q^3$ Percebe-se o padrão: o expoente é sempre “quantas multiplicações por $q$ foram feitas” para sair de $a1$ e chegar ao termo desejado. Como do termo 1 ao termo $n$ existem $(n-1)$ saltos, temos: $\boxed{\,an = a1\cdot q^{n-1}\,}$ Essa é a fórmula geral da PG. Relações úteis derivadas da fórmula geral A fórmula geral gera, naturalmente, ferramentas extremamente rápidas. 4.1 Relação entre dois termos $am$ e $an$ Usando $an=a1 q^{n-1}$ e $am=a1 q^{m-1}$: $\frac{an}{am} = \frac{a1 q^{n-1}}{a1 q^{m-1}} = q^{n-m}$ Logo: $\boxed{\,an = am\cdot q^{n-m}\,}$ Essa forma é especialmente útil quando $a1$ não é dado. 4.2 Como encontrar $q$ a partir de dois termos Da relação anterior: $q^{n-m} = \frac{an}{am}$ Então: $\boxed{\,q = \sqrt[n-m]{\frac{an}{am}}\,}$ Quando $(n-m)$ é pequeno (2, 3, 4), isso vira uma raiz de ordem baixa, frequentemente resolvível por fatoração. Procedimento padrão para usar $an = a1 q^{n-1}$ Ao aplicar a fórmula geral, é recomendável seguir uma ordem fixa para reduzir erros: identifique claramente $a1$; identifique a razão $q$ (por divisão de termos ou pelo enunciado); identifique o índice $n$ do termo pedido; substitua na fórmula $an = a1 q^{n-1}$; simplifique potências com atenção (especialmente quando $q$ é fração ou número negativo). Exemplo A: razão inteira Considere $a1=3$ e $q=2$. Calcular $a5$: $a5 = 3\cdot 2^{5-1} = 3\cdot 2^4 = 3\cdot 16 = 48$ Exemplo B: razão fracionária Considere $a1=81$ e $q=\frac{1}{3}$. Calcular $a4$: $a4 = 81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{4-1} = 81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3 = 81\cdot\frac{1}{27} = 3$ Cuidado recorrente: muitos erros vêm de confundir $(n-1)$ com $n$ ou de simplificar frações com pressa. Encontrando a posição $n$ de um termo conhecido Quando o objetivo é descobrir em que posição aparece um termo, o problema se transforma em uma equação exponencial. Se $an$ é conhecido, escreva: $an = a1 q^{n-1}$ e isole a potência. Exemplo: localizar o termo 160 Em uma PG com $a1=\frac{5}{16}$ e $q=2$, encontre $n$ tal que $an=160$. 1) Monte a equação: $160 = \frac{5}{16}\cdot 2^{n-1}$ 2) Isole $2^{n-1}$ multiplicando por $\frac{16}{5}$: $160\cdot\frac{16}{5} = 2^{n-1}$ 3) Simplifique: $160\cdot\frac{16}{5} = (160\div 5)\cdot 16 = 32\cdot 16 = 512$ Logo: $512 = 2^{n-1}$ 4) Reconheça a potência de 2: $512 = 2^9$ 5) Igualdade de bases: $2^9 = 2^{n-1} \Rightarrow 9 = n-1 \Rightarrow n=10$ Conclusão: o termo 160 aparece na 10ª posição. Quando logaritmos entram naturalmente Se $q$ não for uma base “amigável” (por exemplo, $q=1{,}05$ ou $q=3$ e o valor não bater com potência exata), a solução típica é aplicar logaritmo: $an = a1 q^{n-1} \Rightarrow q^{n-1} = \frac{an}{a1}$ Tomando logaritmo em ambos os lados: $ (n-1)\log(q) = \log\left(\frac{an}{a1}\right)$ Então: $\boxed{\,n = 1 + \frac{\log\left(\frac{an}{a1}\right)}{\log(q)}\,}$ (qualquer base de log serve, desde que seja a mesma nos dois logaritmos). Representações estratégicas: três termos consecutivos Em muitos problemas, não se conhece $a1$ nem $q$ diretamente, mas sabe-se que existem três termos consecutivos com alguma condição (produto, soma, diferença etc.). Um recurso muito eficiente, desde que a razão $q$ seja diferente de zero, é parametrizar assim: $ \left(\frac{x}{q},\; x,\; xq\right) $ Essa forma tem vantagens claras: o termo do meio é $x$; ao multiplicar os três termos, $q$ cancela: $\left(\frac{x}{q}\right)\cdot x \cdot (xq) = x^3$ Então, se o produto for conhecido, resolve-se imediatamente o valor do termo central. Exemplo: produto igual a 1000 Se $\left(\frac{x}{q}, x, xq\right)$ tem produto 1000: $x^3 = 1000 \Rightarrow x = 10$ O termo central é 0$, independentemente de $q$. Além disso, para três termos consecutivos $(a,b,c)$ em PG, sempre vale: $b^2 = ac$ o que reforça a ideia de que o termo do meio é a média geométrica dos extremos. Conexão com somatórios (visão integrada) Embora o foco aqui seja o termo geral, a fórmula $an=a1 q^{n-1}$ é a base para justificar e manipular somas geométricas. 8.1 Soma finita Para $q\neq 1$: $Sn = a1 + a2 + \cdots + an = \frac{a1(q^n - 1)}{q - 1}$ Exemplo: soma dos 10 primeiros termos de $(2,4,8,\dots)$: $a1=2$, $q=2$, $n=10$: $S{10}=\frac{2(2^{10}-1)}{2-1}=2(1024-1)=2046$ 8.2 Soma infinita (série geométrica) A soma infinita só existe como número real quando: $|q|<1$ Nesse caso: $S{\infty} = \frac{a1}{1-q}$ A condição $|q|<1$ é inegociável: se $|q|\ge 1$, o termo $q^n$ não vai a zero, e a soma não estabiliza. Modelagem: como reconhecer PG em fenômenos reais 9.1 Crescimento por duplicação (modelo discreto) Se uma população inicia com 40 indivíduos no dia 1 e duplica a cada dia: $a1=40$ $q=2$ No 10º dia: $a{10} = 40\cdot 2^{10-1} = 40\cdot 512 = 20480$ A interpretação é direta: cada dia multiplica a contagem do dia anterior por 2. 9.2 Razões em dimensões: lado, área e volume Uma fonte frequente de erro é confundir “razão entre lados” com “razão entre áreas” ou “razão entre volumes”. Se a razão entre comprimentos (lados) é $k$, então: a razão entre áreas é $k^2$; a razão entre volumes é $k^3$. Exemplo: quadrados com lado sempre metade do anterior. razão dos lados: $k=\frac{1}{2}$ razão das áreas: $q=k^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ Se a primeira área é 16, a soma infinita das áreas é: $S{\infty} = \frac{16}{1-\frac{1}{4}} = \frac{16}{\frac{3}{4}} = \frac{64}{3}$ O passo decisivo é perceber que o enunciado fala de “metade do lado”, mas o que se soma são “áreas”, então a razão deve ser quadrática. Exercícios: Considere uma PG onde o primeiro termo (**a1**) é 5 e a razão (**q**) é 3. Qual é o 4º termo (**a4**) dessa sequência? Considere a Progressão Geométrica (PG): 5, 10, 20, 40, ... Qual é o valor do 4º termo (**a4**) dessa sequência? Uma Progressão Geométrica (PG) possui o primeiro termo (**a1**) igual a 2 e a razão (**q**) igual a 4. Qual é o 6º termo (**a6**) dessa sequência? Dada a Progressão Geométrica (PG): 243, 81, 27, 9, ... Sabendo que a razão é **q = 1/3**, qual é o valor do 7º termo (**a7**)? Considere a Progressão Geométrica (PG): 243, 81, 27, 9, ... Qual será o 5º termo (**a5**) dessa sequência? Considere a PG: 4, 12, 36, 108, ... Qual é o valor do 6º termo (**a6**) dessa sequência? Em uma Progressão Geométrica (P.G.) composta exclusivamente por termos estritamente positivos, a diferença aferida entre o oitavo e o quarto termo é de 120, enquanto a diferença entre o sexto e o segundo termo é 30. Utilizando a manipulação de matrizes polinomiais a partir da fórmula do termo geral, determine o valor exato do sétimo termo ($a_7$). O lado de um quadrado referencial de partida mede 0\text{ cm}$. Um segundo quadrado é formado internamente ligando-se os pontos médios dos lados do primeiro. Um terceiro é construído unindo os pontos médios do segundo, e esse processo estende-se indefinidamente. Sabendo que as áreas sucessivas desses quadrados obedecem rigorosamente à formulação de uma Progressão Geométrica, calcule a área exata da superfície do oitavo quadrado ($A_8$). A modelagem financeira do rendimento de juros compostos configura-se estruturalmente como uma P.G. Um capital monetário $C$ é aplicado sob um regime de juros de $20\%$ ao ano. Os montantes apurados a cada ano (considerando o momento zero da aplicação como $a_1 = C$) formam os termos de uma Progressão Geométrica. Determine o número mínimo de anos completos que devem transcorrer para que o montante gerado seja, no mínimo, o triplo do capital investido. (Adote as aproximações decimais $\log 2 = 0{,}301$ e $\log 3 = 0{,}477$). Três números reais positivos formam, em sua ordem original disposta, uma Progressão Aritmética (P.A.) estritamente crescente. Se um engenheiro somar matematicamente 1 unidade ao primeiro termo, 4 unidades ao segundo e 19 unidades ao terceiro, a nova tripla ordenada formará perfeitamente uma Progressão Geométrica (P.G.) cuja razão multiplicativa consolidada é $q = 3$. Determine o valor do produto iterativo dos três números originais que constituíam a P.A. inicial. Dada a $PG$ $(4, 12, 36, \ldots)$, qual é o valor numérico do seu sexto termo ($a_6$)? Uma colônia de bactérias triplica sua população a cada hora. Se inicialmente havia 10 bactérias, quantas haverá após 4 horas? Na sequência $(81, 27, 9, 3, \ldots)$, qual é a razão $q$? Qual é a soma dos 10 primeiros termos da $PG$ $(2, 4, 8, 16, \ldots)$? Se o quarto termo ($a_4$) de uma $PG$ é 192 e o primeiro termo ($a_1$) é 3, qual é a razão $q$ dessa sequência? O que acontece com os termos de uma $PG$ se a razão $q$ estiver no intervalo $0<q<1$ e $a_1>0$? Qual é o 15º termo da PG (1, 3, 9, 27, ...)? Se uma $PG$ é dada por $(-3, -6, -12, -24, \ldots)$, como ela é classificada quanto ao seu crescimento? Dada a sequência $\left(\frac{5}{16}, \frac{5}{8}, \frac{5}{4}, \ldots\right)$, qual é a razão $q$? Em um sistema físico com dissipação e convergência, a evolução de uma grandeza é modelada pela relação de recorrência $6a_{n+2} - 13a_{n+1} + 6a_n = 0$ para todo $n \ge 1$. Sabe-se que a sequência $(a_n)$ é estritamente decrescente e composta por termos reais positivos, e que seu primeiro termo é $a_1 = 81$. Qual é o valor exato do quinto termo ($a_5$)? O termo geral de uma Progressão Geométrica (P.G.) é dado por a_n = a_1 * q^(n-1). Em uma P.G. estruturada exclusivamente por termos reais não nulos, sabe-se que a soma algébrica do segundo com o quarto termo é igual a 60 (a_2 + a_4 = 60), enquanto a soma do terceiro com o quinto termo totaliza 180 (a_3 + a_5 = 180). Qual é o valor analítico exato do sexto termo (a_6)? As raízes da equação polinomial de terceiro grau $x^3 - cx^2 + 114x - 216 = 0$ formam uma Progressão Geométrica (P.G.) de termos reais. Aplicando as relações de Girard e a modelagem do termo geral de progressões, determine o valor numérico exato do coeficiente $c$. Uma sequência paramétrica $(x_n)$ é formada estritamente por números reais positivos. Sabe-se que a sequência transformada por $y_n = \log_5(x_n)$ constitui uma Progressão Aritmética (P.A.) de razão $r = 3$ e termo inicial $y_1 = 2$. Qual é a expressão algébrica que define irrefutavelmente o termo geral da Progressão Geométrica original $(x_n)$? O que caracteriza uma Progressão Geométrica como 'constante'?