Guia Completo de Distribuição de Frequência: da organização de dados à análise estatística Por que organizar dados? O papel da distribuição de frequências Dados brutos são registros no "estado natural": uma lista de números, categorias ou medidas coletadas no mundo real. Em amostras pequenas, até é possível olhar para os valores e tirar conclusões intuitivas. Em amostras moderadas ou grandes, essa intuição falha: padrões ficam escondidos, comparações ficam difíceis e erros de contagem se tornam comuns. A distribuição de frequência é a técnica que transforma uma coleção de observações em uma estrutura organizada, permitindo: visualizar a concentração de valores (onde estão as maiores ocorrências); identificar tendências (crescimento/queda de frequências ao longo de valores); comparar grupos de tamanhos diferentes por meio de frequência relativa; construir gráficos adequados (barras, setores, histogramas); preparar o terreno para medidas de centralidade e dispersão, evitando cálculos sobre dados desorganizados. Em termos práticos, a tabela de frequência é o "mapa" do conjunto de dados: ela diz quantas vezes cada valor (ou faixa de valores) aparece. Dados brutos e o conceito de rol 2.1 Dados brutos Dados brutos são os valores exatamente como foram coletados, por exemplo: notas obtidas por alunos; tempos de percurso de um motorista; salários declarados em uma pesquisa; medidas físicas (altura, massa, diâmetro de peças); categorias (marca preferida, estado civil, tipo de transporte usado). O problema é que dados brutos, em geral, não vêm ordenados e não "mostram" a estrutura do conjunto. 2.2 Rol (ordenação) O rol é a lista de dados ordenada (crescente ou decrescente). Ele é a etapa inicial mais importante para qualquer organização estatística, pois: reduz erros de contagem; facilita identificar repetições (moda) e posições (mediana, quartis); permite montar frequências de forma consistente. Exemplo (resultado de 20 lançamentos de um dado) Dados brutos (exemplo): $\{5, 1, 4, 6, 2, 1, 3, 6, 2, 5, \dots\}$ Rol (crescente): valores $ agrupados, depois $2$, e assim por diante, até $6$. Mesmo antes de calcular qualquer coisa, o rol permite observar se algum valor aparece mais (moda) e se a distribuição parece mais concentrada ou espalhada. Frequência absoluta e frequência relativa Considere uma amostra com $N$ observações. 3.1 Frequência absoluta ($fi$) A frequência absoluta de um valor (ou classe) é o número de vezes que ele aparece. Exemplo: se a idade 17 aparece 6 vezes, então $f{17} = 6$. 3.2 Frequência relativa ($fr$) A frequência relativa é a proporção de ocorrências em relação ao total: $ fr = \frac{fi}{N} $ 3.3 Frequência relativa percentual ($fr\%$) Multiplica-se por 100: $ fr\% = fr \times 100\% = \frac{fi}{N}\times 100\% $ 3.4 Exemplo completo (idades) Suponha $N = 20$ indivíduos: | Idade | $fi$ | $fr$ | $fr\%$ | |---|---:|---:|---:| | 15 | 3 | $3/20=0{,}15$ | 15% | | 16 | 4 | $4/20=0{,}20$ | 20% | | 17 | 6 | $6/20=0{,}30$ | 30% | | 18 | 5 | $5/20=0{,}25$ | 25% | | 19 | 2 | $2/20=0{,}10$ | 10% | | Total | 20 | 1{,}00 | 100% | Por que a frequência relativa é tão importante? Ela permite comparar grupos com tamanhos diferentes. Exemplo: "30% têm 17 anos" é comparável entre uma turma de 20 alunos e outra de 2000 alunos. Frequência acumulada: leitura posicional A frequência acumulada responde perguntas do tipo: "Quantos estão até certo valor?" "Qual percentual está até certa faixa?" 4.1 Frequência acumulada absoluta ($Fi$) É a soma progressiva das frequências absolutas. A primeira linha repete $fi$. A cada linha, soma-se a frequência daquela linha ao acumulado anterior. O último valor de $Fi$ deve ser exatamente $N$. No exemplo das idades: | Idade | $fi$ | $Fi$ | |---|---:|---:| | 15 | 3 | 3 | | 16 | 4 | 7 | | 17 | 6 | 13 | | 18 | 5 | 18 | | 19 | 2 | 20 | Interpretação: $Fi=7$ na idade 16 significa que há 7 pessoas com idade até 16. 4.2 Frequência acumulada relativa ($F{ri}$) É a soma progressiva das frequências relativas. O último valor deve ser 1,00 (ou 100%). | Idade | $fr$ | $F{ri}$ | |---|---:|---:| | 15 | 0,15 | 0,15 | | 16 | 0,20 | 0,35 | | 17 | 0,30 | 0,65 | | 18 | 0,25 | 0,90 | | 19 | 0,10 | 1,00 | Interpretação: $F{ri}=0{,}65$ na idade 17 significa que 65% têm idade até 17. Essa leitura acumulada é central para entender "até onde vai" certa parte do grupo, e aparece diretamente em temas como percentis, quartis e medianas em dados tabulados. Distribuição de frequência por classes (intervalos) Quando os dados são numerosos ou contínuos (altura, massa, tempo, renda), listar valor por valor pode ser ruim por dois motivos: a tabela fica longa e pouco informativa; valores próximos, mas diferentes, impedem enxergar padrões (ex.: 67,2; 67,4; 67,5; 67,7...). Nesses casos, usa-se a distribuição por classes, isto é, intervalos de valores. 5.1 Elementos fundamentais a) Amplitude total ($At$) $At = x{\max} - x{\min}$ Exemplo: se $x{\max}=85$ e $x{\min}=67$: $At = 85 - 67 = 18$ b) Número de classes ($K$) Pode ser escolhido por conveniência (buscando boa legibilidade) ou por regra prática. Uma regra clássica é a Regra de Sturges: $K \approx 1 + 3{,}3\log{10}(N)$ Exemplo: se $N=20$: $K \approx 1 + 3{,}3\log{10}(20) \approx 1 + 3{,}3\cdot 1{,}301 \approx 5{,}29$ Escolha típica: 5 classes (arredondando para valor próximo e operacional). Observações úteis: Sturges funciona bem para muitos problemas escolares e de concurso, mas não é "lei": é uma heurística. Em provas, quando Sturges dá algo como 5,29, o comum é escolher 5 ou 6 conforme o enunciado e a conveniência de $h$. c) Amplitude de classe ($h$) $h = \frac{At}{K}$ No exemplo: $h = 18/5 = 3{,}6$. Em tabelas didáticas e de prova, costuma-se ajustar $h$ para um número "limpo" que garanta cobertura de todos os dados. Dois cuidados importantes: não arredondar para baixo a ponto de a última classe não alcançar $x{\max}$; escolher um $h$ que facilite leitura (inteiro ou decimal simples). Assim, $3{,}6$ pode virar 4. 5.2 Notação de intervalos e limites Em muitos materiais, usa-se um padrão equivalente a: limite inferior inclui o valor (fechado); limite superior não inclui (aberto). Exemplo de classe: $67 \mid\text{---} 71$ (ou $[67, 71[$). Interpretação: entra 67, 68, 69, 70 (e quaisquer valores contínuos até 71, sem incluir 71); o valor 71 vai para a classe seguinte. Essa convenção evita que um valor no limite (por exemplo, exatamente 71) seja contado duas vezes. 5.3 Como construir a tabela por classes (procedimento) Encontre $x{\min}$ e $x{\max}$. Calcule $At$. Defina $K$. Calcule $h$ e ajuste para valor operacional. Monte os intervalos de classe cobrindo do mínimo ao máximo. Conte quantos dados caem em cada classe (isso é $fi$). Calcule $fr$, $fr\%$, $Fi$ e $F{ri}$. Verifique somatórios: $\sum fi = N$ $\sum fr = 1$ (ou $\sum fr\% = 100\%$) 5.4 Classe modal em dados agrupados Em tabelas por classes, a "moda" é identificada como: classe modal = classe com maior $fi$. Isso é essencial para leitura rápida e aparece com frequência em questões que exigem interpretação da tabela. Tabelas de contingência (bivariadas) Além da distribuição univariada (uma variável), existe a distribuição bivariada, geralmente organizada em tabelas de contingência. Exemplo de estrutura: Linhas: categorias de uma variável (ex.: gênero). Colunas: categorias de outra variável (ex.: preferência de atividade). Corpo da tabela: frequências conjuntas (quantos se encaixam em cada combinação). Totais por linha e por coluna: frequências marginais. O que essa tabela permite? comparar perfis de comportamento entre grupos; avaliar associação entre variáveis qualitativas; identificar concentrações específicas (uma combinação muito frequente). Mesmo antes de qualquer teste estatístico, a tabela bivariada já oferece um diagnóstico descritivo poderoso. Representações gráficas ligadas à distribuição de frequência Uma boa tabela geralmente prepara o caminho para um bom gráfico. 7.1 Gráfico de barras Indicado para: variáveis discretas (número de filhos, notas inteiras, quantidade de erros); variáveis qualitativas (cor, marca, categoria). Características: Para variáveis qualitativas nominais, as barras são usualmente separadas para enfatizar a independência das categorias. Para variáveis discretas ordenadas, as barras podem ser justapostas (com uma pequena separação) ou separadas; a escolha depende da convenção e do contexto. A altura de cada barra é proporcional à frequência ($fi$) ou à frequência relativa ($fr$). 7.2 Gráfico de setores (pizza) Indicado quando o objetivo é mostrar partes de um todo, especialmente com frequência relativa percentual. Cuidado: se houver muitas categorias, o gráfico perde legibilidade. 7.3 Histograma Indicado para: dados contínuos agrupados em classes. Características essenciais: barras coladas (intervalos contíguos); cada barra representa uma classe; altura proporcional à frequência (em problemas escolares típicos, assume-se classes de mesma largura; quando as larguras são diferentes, a interpretação deve considerar densidade, mas isso costuma aparecer em níveis mais avançados). Aplicações práticas: por que isso é cobrado? A distribuição de frequência aparece em várias áreas porque ela: transforma dados em estrutura analisável; permite monitorar padrões ao longo do tempo; suporta decisões com base em proporções e concentrações. Exemplos de leitura aplicada: Indústria: identificar a classe mais frequente de defeitos, monitorar variação de medidas de peças. Educação: mapear distribuição de notas e taxas de aprovação por faixa. Saúde pública: acompanhar faixas etárias de incidência de doença e percentuais de cobertura vacinal. Gestão: construir painéis com distribuição de atrasos, custos e produtividade por categoria. Protocolo completo e verificações obrigatórias Para construir uma distribuição de frequência consistente: Monte o rol (ordene os dados). Decida se a tabela será por valores individuais (discreto) ou por classes (contínuo/muitos valores). Conte $fi$ com rigor. Calcule $fr$ e $fr\%$. Construa $Fi$ e $F{ri}$. Faça as verificações finais: $\sum fi = N$; $\sum fr = 1$ (ou $\sum fr\% = 100\%$); o último acumulado é $Fi=N$ e $F_{ri}=1$. Sem essas conferências, a tabela pode carregar erros que contaminam tudo o que vem depois: mediana tabulada, moda por classe, estimativas de média e desvio padrão para dados agrupados e qualquer interpretação gráfica. Exercícios: Considere o conjunto de dados: 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9. Qual é a frequência absoluta do número 7? Considere a tabela de frequência abaixo para um conjunto de dados: | Valor (x_i) | Frequência Absoluta (f_i) | |-------------|----------------------------| | 2 | 3 | | 4 | 2 | | 5 | 1 | | 6 | 4 | Qual é a frequência acumulada até o valor 6? Um analista de dados precisa construir uma distribuição de frequências em classes para uma amostra contínua de 64 observações. A amplitude total dos dados é de 28 unidades. Utilizando a Regra de Sturges ($K \approx 1 + 3{,}3 \log_{10} N$) para determinar o número de classes $K$ (arredondado para o inteiro mais próximo), qual deve ser a amplitude $h$ de cada intervalo de classe? (Considere $\log_{10} 2 \approx 0{,}30$). A construção de um histograma com classes de amplitudes desiguais exige o uso da densidade de frequência para que a área de cada retângulo seja estritamente proporcional à frequência da classe. Em um dado histograma, a classe A tem amplitude 5 e a altura de sua barra correspondente é 12. A classe B, pertencente à mesma distribuição, possui amplitude 10 e abriga exatamente a mesma frequência absoluta que a classe A. Qual deve ser a altura do retângulo que representa a classe B? O tempo de execução de uma tarefa por 50 operários foi tabulado na seguinte distribuição de frequências contínuas: $[0, 10)$ com 5 registros; $[10, 20)$ com 15 registros; $[20, 30)$ com 20 registros; e $[30, 40)$ com 10 registros. Assumindo que os dados estão distribuídos uniformemente dentro de cada classe, qual é o valor estimado da mediana desse conjunto de dados? O polígono de frequências é um gráfico de linhas construído ao conectar os pontos médios das bases superiores dos retângulos de um histograma, fechando a figura no eixo das abscissas nas classes adjacentes de frequência nula. Em uma distribuição com classes de mesma amplitude, qual é a relação matemática entre a área total delimitada pelo polígono de frequências e a área total dos retângulos do histograma? Em um ensaio clínico com uma amostra de 500 pacientes, analisa-se a presença de duas mutações genéticas $A$ e $B$, tabuladas em uma matriz de contingência. As frequências relativas marginais observadas são $P(A) = 0{,}40$ e $P(B) = 0{,}50$. Sob a hipótese estatística nula de que a ocorrência da mutação $A$ é estritamente independente da mutação $B$, qual deve ser a frequência absoluta esperada de pacientes que apresentam ambas as mutações simultaneamente $(A \cap B)$? Em uma pesquisa de opinião pública, os dados consolidados foram apresentados em um gráfico de setores (gráfico de pizza). Sabe-se que exatamente 1.200 pessoas participaram da pesquisa e que o setor circular correspondente à avaliação "Excelente" possui um ângulo central de $54^\circ$. Quantos entrevistados classificaram fisicamente o serviço avaliado como "Excelente"? Um conjunto de dados contém os valores: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Qual é a frequência relativa (%) do número **4**? Se uma pesquisa com uma amostra de $N = 40$ elementos apresenta um dado com frequência absoluta $f_i = 6$, qual é a sua frequência relativa ($f_r$) expressa em porcentagem? Se a frequência relativa acumulada de uma determinada classe é $0{,}65$, o que isso indica sobre os dados da amostra? Qual das seguintes afirmações sobre a soma das frequências relativas ($f_r$) em uma distribuição é sempre verdadeira? Para determinar a amplitude de cada intervalo de classe ($h$) em uma tabela com 5 classes, onde o maior valor é 85 e o menor é 67, qual é o procedimento correto? Dada uma amostra onde a frequência absoluta de um valor é 8 e sua frequência relativa é $0{,}20$, qual é o tamanho $\mathbf{n}$ da amostra? Na primeira linha de uma tabela de frequência, quais colunas obrigatoriamente possuem o mesmo valor numérico (considerando a forma decimal para relativas)? Um pesquisador obteve os dados: 5, 2, 9, 2, 5. Qual é a frequência absoluta do valor 2? Em uma tabela com classes de massa corporal, a classe 60–70 possui frequência absoluta 12. Se o total de pessoas é 50, qual a frequência relativa desta classe? Analise a sequência de frequências absolutas: 3, 5, 2. Qual a frequência acumulada da segunda classe? Em uma pesquisa, foram coletados os seguintes dados: _2, 2, 4, 4, 4, 6, 6, 8_. Qual é a frequência relativa do valor 4? Considere o conjunto de dados: _3, 5, 3, 7, 5, 3, 7, 5, 3_. Quantas vezes o número **5** aparece no conjunto de dados? Considere a seguinte tabela de frequências: | Valor | Frequência Absoluta | |-------|---------------------| | 1 | 2 | | 2 | 3 | | 3 | 5 | | 4 | 4 | Qual é a frequência acumulada do valor **3**? Em uma tabela de distribuição de frequências completa (exaustiva) e com dados agrupados em exatamente 5 classes mutuamente exclusivas, a frequência relativa acumulada até a quarta classe é $F_{r4} = 0{,}85$. Sabendo que a quinta e última classe possui uma frequência absoluta $f_5 = 30$, qual é o tamanho total da amostra analisada? Um analista possui acesso apenas a uma tabela de dados agrupados, sem os valores brutos individuais das observações. A distribuição contínua é composta por duas classes: o intervalo $[0, 4)$, com frequência absoluta igual a 3, e o intervalo $[4, 8)$, com frequência absoluta igual a 2. Utilizando o método usual para dados agrupados, qual é o valor estimado da média aritmética dessa distribuição? Considere um intervalo de classe representado por $71 \vdash 75$. Se o valor $75{,}0$ aparecer na amostra, em qual classe ele deve ser contabilizado? (Nota: Nesta questão, adota-se a convenção estatística de que o símbolo '$\vdash

#039; denota um intervalo que INCLUI o limite inferior e EXCLUI o limite superior.)