Critérios de Divisibilidade Introdução Critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro sem precisar fazer a divisão completa. Dizemos que um número A é divisível por B quando existe um número natural q (quociente) tal que A = B · q, isto é, quando a divisão A ÷ B tem resto zero. Essas regras são fundamentais porque aceleram cálculos, ajudam a simplificar frações, a fatorar números, a resolver problemas de MMC e MDC, a identificar números primos e a lidar com questões em que aparecem algarismos desconhecidos (como “qual dígito deve entrar aqui para o número ser divisível por 9?”). Em provas, dominar divisibilidade costuma ser a diferença entre resolver em segundos e perder tempo com contas longas. Este tema é essencial porque muitos problemas de matemática não querem que você “faça a conta”, mas que você reconheça padrões. Quando você usa critérios de divisibilidade, você ganha velocidade, reduz erros e consegue justificar conclusões com clareza. Além disso, critérios como os de 3 e 9 estão ligados a propriedades profundas do sistema decimal (base 10), e critérios como o de 6 e 12 mostram como combinar regras de fatores primos para criar testes compostos. Fundamentos da divisibilidade 1.1 O que significa “ser divisível” Um número A é divisível por B (com B ≠ 0) quando existe um inteiro q tal que A = B · q. Em linguagem de divisão, isso equivale a dizer que: A = B · q + r, onde 0 ≤ r < B (para B positivo), e A é divisível por B quando r = 0. 1.2 Por que critérios de divisibilidade funcionam Os critérios exploram o modo como o sistema decimal organiza números por potências de 10: Qualquer número pode ser escrito como soma de algarismos vezes potências de 10 (por exemplo, 4.738 = 4·1000 + 7·100 + 3·10 + 8). Como 10 tem fatores 2 e 5, surgem critérios “fáceis” para 2, 4, 8, 5 e 10. Para 3 e 9, o fato relevante é que 10 ≡ 1 (mod 3) e 10 ≡ 1 (mod 9), o que explica por que a soma dos algarismos preserva o resto nessas divisões. Critérios de divisibilidade de 1 a 10 2.1 Divisibilidade por 1 Todo número inteiro é divisível por 1, porque A ÷ 1 = A. Em termos práticos, esse critério sempre é verdadeiro e serve mais como base conceitual. 2.2 Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par. Regra: o último algarismo deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 1.000.006 é divisível por 2 porque termina em 6. 53 não é divisível por 2 porque termina em 3. 2.3 Divisibilidade por 3 Regra: a soma dos algarismos deve ser divisível por 3. Exemplos: 1.233 → 1+2+3+3 = 9, e 9 é múltiplo de 3, então 1.233 é divisível por 3. 91.277 → 9+1+2+7+7 = 26, e 26 não é múltiplo de 3, então 91.277 não é. Observação prática: você pode somar e “reduzir” a soma repetidamente (por exemplo, 26 → 2+6 = 8). Se o número final for 3, 6 ou 9, a divisibilidade por 3 é garantida. 2.4 Divisibilidade por 4 Regra: os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 (ou terminam em 00). Exemplos: 1.200 é divisível por 4 porque termina em 00. 5.832 é divisível por 4 porque 32 é divisível por 4. 1.335 não é divisível por 4 porque 35 não é múltiplo de 4. Por que funciona: 100 é múltiplo de 4, então o que vem antes dos dois últimos dígitos não altera o resto na divisão por 4. 2.5 Divisibilidade por 5 Regra: o número deve terminar em 0 ou 5. Exemplos: 935 e 140 são divisíveis por 5. 357 não é divisível por 5 porque termina em 7. 2.6 Divisibilidade por 6 Esse é um critério composto. Regra: o número deve ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 510 é par e 5+1+0=6 é múltiplo de 3, então 510 é divisível por 6. 2.331 tem soma de dígitos 2+3+3+1 = 9 (divisível por 3), mas é ímpar, então não é divisível por 6. Dica importante: se o número falhar em uma das duas condições, ele já não é divisível por 6. 2.7 Divisibilidade por 7 O critério do 7 não é tão direto quanto os anteriores, mas existem algoritmos práticos. Um dos mais comuns é o seguinte: Procedimento: separe o último algarismo, multiplique esse último algarismo por 2, subtraia o resultado do número formado pelos demais algarismos. se a diferença obtida for divisível por 7 (incluindo 0 ou números negativos), o número original também é. Se a diferença ainda for grande, repita o processo. Por que funciona? Esse critério se baseia na propriedade de que 10a + b é divisível por 7 se, e somente se, a - 2b for divisível por 7. Existem outros métodos equivalentes, como somar o quíntuplo do último dígito ao número formado pelos demais. Exemplo: 574 → último dígito 4 4×2 = 8 57 − 8 = 49 49 é divisível por 7, então 574 é divisível por 7. Observação prática: se o resultado ainda for grande, repita o processo até cair em um múltiplo conhecido (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70…). 2.8 Divisibilidade por 8 Regra: os três últimos algarismos formam um número divisível por 8 (ou terminam em 000). Exemplos: 12.000 é divisível por 8 porque termina em 000. 225.243.168 é divisível por 8 porque 168 ÷ 8 = 21. Por que funciona: 1000 é múltiplo de 8, então a parte anterior aos três últimos dígitos não altera o resto. 2.9 Divisibilidade por 9 Regra: a soma dos algarismos deve ser múltipla de 9. Exemplos: 1.575 → 1+5+7+5=18, e 18 é múltiplo de 9, então é divisível por 9. 426.513 → 4+2+6+5+1+3=21, e 21 não é múltiplo de 9, então não é divisível por 9. Observação prática: se a soma der 9, 18, 27, 36… o número é divisível por 9. Se der 21, 30, 24, não é. 2.10 Divisibilidade por 10 Regra: o número deve terminar em 0. Exemplos: 3.230 e 90 são divisíveis por 10. 3.235 não é divisível por 10. Tabela de referência rápida 1: todo número. 2: termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. 3: soma dos algarismos é múltiplo de 3. 4: dois últimos dígitos múltiplos de 4 (ou 00). 5: termina em 0 ou 5. 6: divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 7: (restante) − 2×(último dígito) é múltiplo de 7 (pode repetir). 8: três últimos dígitos múltiplos de 8 (ou 000). 9: soma dos algarismos é múltiplo de 9. 10: termina em 0. Outros critérios importantes Nesta seção, entram conteúdos que normalmente aparecem junto de divisibilidade em provas, mesmo quando o enunciado fala apenas “critérios”. 4.1 Critérios compostos importantes (além de 10) Esses critérios são extremamente úteis porque muitos números são produtos de primos. Divisível por 12: divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Divisível por 15: divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Divisível por 18: divisível por 2 e por 9 ao mesmo tempo. Divisível por 20: deve ser divisível por 4 e por 5 simultaneamente. Na prática, isso significa que o número deve terminar em 0 e os dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4. Ideia geral: se m = a·b e a e b são coprimos, então “ser divisível por m” equivale a “ser divisível por a e por b”. Isso explica por que 6 funciona como 2 e 3. 4.2 Critério de divisibilidade por 11 (muito cobrado) Regra: faça a soma dos algarismos em posições alternadas e calcule a diferença entre as somas. Se a diferença for múltipla de 11 (incluindo 0), o número é divisível por 11. Exemplo: 3.872 → (3+7) − (8+2) = 10 − 10 = 0 Como 0 é múltiplo de 11, 3.872 é divisível por 11. 4.3 Relação com resto e aritmética modular Os critérios podem ser entendidos como testes de resto: Quando você diz “a soma dos algarismos decide a divisibilidade por 9”, você está dizendo que o resto do número na divisão por 9 é o mesmo resto da soma dos algarismos. Essa visão ajuda em problemas avançados como: “qual é o resto de um número enorme ao dividir por 9?” “um número deixa resto 1 ao dividir por 3; o que isso diz sobre a soma dos dígitos?” Aplicações e dicas de prova 5.1 Economia de tempo e eliminação de alternativas Em múltipla escolha, testar critérios (2, 3, 5, 9, 10) elimina opções rapidamente. Para números grandes, olhar apenas os últimos 1, 2 ou 3 dígitos resolve 2, 4, 5, 8 e 10 de forma imediata. 5.2 Divisibilidade simultânea Muitos enunciados pedem que um número seja divisível por mais de um valor. Exemplo típico: “divisível por 3 e por 5” significa: termina em 0 ou 5 e soma dos dígitos é múltiplo de 3. 5.3 Questões com algarismo desconhecido Essas são muito comuns e exigem usar critérios como equações simples. Para divisibilidade por 3 ou 9, você monta a soma dos dígitos com o algarismo desconhecido e impõe que a soma seja múltipla de 3 ou 9. Exemplo de raciocínio: Número: 4x7 (onde x é um dígito). Para ser divisível por 3, 4 + x + 7 = 11 + x deve ser múltiplo de 3. Então x deve tornar 11+x múltiplo de 3, o que implica x ∈ {1, 4, 7}. 5.4 Critérios “visuais” vs. critérios “procedimentais” Critérios visuais: 2, 5, 10 (olhar o último dígito), 4 (olhar os dois últimos), 8 (olhar os três últimos). Critérios procedimentais: 7 e 11 exigem passos, então precisam de prática para ficar rápidos. 5.5 Checagem de resultados Depois de uma conta, aplicar um critério pode indicar se você errou. Exemplo: se você calcula um número que “deveria ser múltiplo de 9” mas a soma dos dígitos não dá múltiplo de 9, há grande chance de erro de cálculo. Exercícios conceituais guiados (para aprofundar) Exercício 1: explique por que 124.830 é divisível por 9 e por que isso implica que ele é divisível por 3. Você deve usar o fato de que todo múltiplo de 9 é múltiplo de 3, e também a soma dos algarismos. Exercício 2: verifique se 73.584 é divisível por 8 usando apenas os três últimos dígitos. Você deve analisar 584 e decidir se 584 ÷ 8 é inteiro. Exercício 3: encontre todos os dígitos x para que 25x seja divisível por 6. Você deve exigir que o número seja par e que a soma dos algarismos seja múltiplo de 3. Exercício 4: use o critério do 7 para testar 203. Você deve fazer 20 − 2×3 = 14. Como 14 é múltiplo de 7, conclui-se que 203 é divisível por 7. Se aplicar o critério novamente ao número 14, teremos 1 − 2×4 = −7, o que confirma a divisibilidade. Conclusão Critérios de divisibilidade são atalhos poderosos baseados em propriedades do sistema decimal e dos fatores dos números. Eles permitem decidir rapidamente sobre divisões exatas, facilitam fatoração, simplificação de frações e resolução de problemas com múltiplos e divisores. Em provas, o ganho é duplo: você resolve mais rápido e também constrói justificativas matemáticas claras. Para domínio completo, a prática deve focar especialmente nos critérios compostos (como 6, 12, 15 e 18) e nos procedimentais (como 7 e 11), além de exercícios com dígitos desconhecidos, que são onde esses critérios mais “rendem pontos”. Exercícios: O número 234 é divisível por 3? Considere os números abaixo e marque a alternativa em que ambos são divisíveis por 2 e por 5 ao mesmo tempo. I) 40 II) 75 III) 82 IV) 100 Um número de três algarismos, representado por 3AB, onde A e B são algarismos, é divisível por 8 e por 9 ao mesmo tempo. Sabe-se que A + B = 6. Qual o valor de B? Utilizando o critério de divisibilidade por 7, verifique qual dos números abaixo é divisível por 7. Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. Qual dos números abaixo NÃO é divisível por 8? Qual é o menor número natural de três algarismos que é divisível por 3, 4 e 5 simultaneamente? A aula destaca que os critérios de divisibilidade por 3 e por 9 estão ligados ao fato de que, no sistema decimal, 10 ≡ 1 (mod 3) e 10 ≡ 1 (mod 9). Qual das alternativas traduz rigorosamente a consequência prática dessa equivalência modular? Seja N = 47a3 (algarismo a desconhecido). Para que N seja divisível por 9, qual deve ser o valor de a? Um controle de estoque gera um código numérico de 6 dígitos do tipo 23b4c6, com b e c algarismos. Exige-se que o código seja divisível por 2, por 3 e por 5 simultaneamente. Quantos pares ordenados (b,c) satisfazem a exigência? Qual é o menor inteiro positivo de 4 dígitos que é divisível por 4 e por 9 ao mesmo tempo? Para a formulação de critérios compostos de divisibilidade, exige-se que os fatores base escolhidos sejam primos entre si (coprimos). Assinale a alternativa que indica a decomposição correta para testar a divisibilidade de um número gigante por 36 e a razão matemática para essa escolha. O critério de divisibilidade por 8 estabelece que basta analisar se os três últimos algarismos do número formam um múltiplo de 8. Assinale a alternativa que explica de maneira técnica e completa a fundamentação algébrica dessa regra. Considere o número inteiro 35A4. Qual deve ser o valor do algarismo A para que este número seja divisível por 9? O critério de divisibilidade por 7 é um procedimento iterativo, no qual um número N é separado em seu algarismo das unidades (b) e no número formado pelos demais algarismos (a), de modo que N = 10a + b. De acordo com a fundamentação matemática desse critério, o número N será múltiplo de 7 se, e somente se, qual das operações abaixo resultar em um múltiplo de 7? Um analista de sistemas está recuperando registros corrompidos de um banco de dados financeiro. Ele sabe que um determinado código de transação 3a4b6 (onde a e b são algarismos desconhecidos, com a > 0) deve ser divisível por 99 para ser validado pelo sistema. Com base nessa premissa, qual é o valor do produto a×b? Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo? Uma indústria gera lotes de produtos com números de série no formato 123ab2. O controle de qualidade exige que, para ser exportado, o número de série seja um múltiplo exato de 24. Considerando que a e b são algarismos de 0 a 9, qual é o valor máximo possível para a soma a + b? Considere N = 72x5 (isto é, N = 7205 + 10x, com x um algarismo). Para quais valores de x o número N é divisível por 11? Um software de criptografia cria um número gigantesco ao concatenar todos os números inteiros de 1 a 20, ou seja, . Para determinar a chave de acesso, o algoritmo precisa calcular o resto da divisão de por 9. Qual será o valor exato dessa chave? Um cofre eletrônico possui uma senha de 6 dígitos no formato . Sabe-se que todos os algarismos da senha são distintos (não se repetem) e que o número é perfeitamente divisível por 5, 8 e 9 simultaneamente. Com base nesses dados, qual deve ser o valor da soma ?