Critérios de Divisibilidade Introdução Critérios de divisibilidade são regras que permitem verificar se um número natural é divisível por outro sem precisar fazer a divisão completa. Dizemos que um número A é divisível por B quando existe um número natural q (quociente) tal que A = B · q, isto é, quando a divisão A ÷ B tem resto zero. Essas regras são fundamentais porque aceleram cálculos, ajudam a simplificar frações, a fatorar números, a resolver problemas de MMC e MDC, a identificar números primos e a lidar com questões em que aparecem algarismos desconhecidos (como “qual dígito deve entrar aqui para o número ser divisível por 9?”). Em provas, dominar divisibilidade costuma ser a diferença entre resolver em segundos e perder tempo com contas longas. Este tema é essencial porque muitos problemas de matemática não querem que você “faça a conta”, mas que você reconheça padrões. Quando você usa critérios de divisibilidade, você ganha velocidade, reduz erros e consegue justificar conclusões com clareza. Além disso, critérios como os de 3 e 9 estão ligados a propriedades profundas do sistema decimal (base 10), e critérios como o de 6 e 12 mostram como combinar regras de fatores primos para criar testes compostos. Fundamentos da divisibilidade 1.1 O que significa “ser divisível” Um número A é divisível por B (com B ≠ 0) quando existe um inteiro q tal que A = B · q. Em linguagem de divisão, isso equivale a dizer que: A = B · q + r, onde 0 ≤ r < B (para B positivo), e A é divisível por B quando r = 0. 1.2 Por que critérios de divisibilidade funcionam Os critérios exploram o modo como o sistema decimal organiza números por potências de 10: Qualquer número pode ser escrito como soma de algarismos vezes potências de 10 (por exemplo, 4.738 = 4·1000 + 7·100 + 3·10 + 8). Como 10 tem fatores 2 e 5, surgem critérios “fáceis” para 2, 4, 8, 5 e 10. Para 3 e 9, o fato relevante é que 10 ≡ 1 (mod 3) e 10 ≡ 1 (mod 9), o que explica por que a soma dos algarismos preserva o resto nessas divisões. Critérios de divisibilidade de 1 a 10 2.1 Divisibilidade por 1 Todo número inteiro é divisível por 1, porque A ÷ 1 = A. Em termos práticos, esse critério sempre é verdadeiro e serve mais como base conceitual. 2.2 Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 quando é par. Regra: o último algarismo deve ser 0, 2, 4, 6 ou 8. Exemplos: 1.000.006 é divisível por 2 porque termina em 6. 53 não é divisível por 2 porque termina em 3. 2.3 Divisibilidade por 3 Regra: a soma dos algarismos deve ser divisível por 3. Exemplos: 1.233 → 1+2+3+3 = 9, e 9 é múltiplo de 3, então 1.233 é divisível por 3. 91.277 → 9+1+2+7+7 = 26, e 26 não é múltiplo de 3, então 91.277 não é. Observação prática: você pode somar e “reduzir” a soma repetidamente (por exemplo, 26 → 2+6 = 8). Se o número final for 3, 6 ou 9, a divisibilidade por 3 é garantida. 2.4 Divisibilidade por 4 Regra: os dois últimos algarismos formam um número divisível por 4 (ou terminam em 00). Exemplos: 1.200 é divisível por 4 porque termina em 00. 5.832 é divisível por 4 porque 32 é divisível por 4. 1.335 não é divisível por 4 porque 35 não é múltiplo de 4. Por que funciona: 100 é múltiplo de 4, então o que vem antes dos dois últimos dígitos não altera o resto na divisão por 4. 2.5 Divisibilidade por 5 Regra: o número deve terminar em 0 ou 5. Exemplos: 935 e 140 são divisíveis por 5. 357 não é divisível por 5 porque termina em 7. 2.6 Divisibilidade por 6 Esse é um critério composto. Regra: o número deve ser divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. Exemplos: 510 é par e 5+1+0=6 é múltiplo de 3, então 510 é divisível por 6. 2.331 tem soma de dígitos 2+3+3+1 = 9 (divisível por 3), mas é ímpar, então não é divisível por 6. Dica importante: se o número falhar em uma das duas condições, ele já não é divisível por 6. 2.7 Divisibilidade por 7 O critério do 7 não é tão direto quanto os anteriores, mas existem algoritmos práticos. Um dos mais comuns é o seguinte: Procedimento: separe o último algarismo, multiplique esse último algarismo por 2, subtraia o resultado do número formado pelos demais algarismos. se a diferença obtida for divisível por 7 (incluindo 0 ou números negativos), o número original também é. Se a diferença ainda for grande, repita o processo. Por que funciona? Esse critério se baseia na propriedade de que 10a + b é divisível por 7 se, e somente se, a - 2b for divisível por 7. Existem outros métodos equivalentes, como somar o quíntuplo do último dígito ao número formado pelos demais. Exemplo: 574 → último dígito 4 4×2 = 8 57 − 8 = 49 49 é divisível por 7, então 574 é divisível por 7. Observação prática: se o resultado ainda for grande, repita o processo até cair em um múltiplo conhecido (0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70…). 2.8 Divisibilidade por 8 Regra: os três últimos algarismos formam um número divisível por 8 (ou terminam em 000). Exemplos: 12.000 é divisível por 8 porque termina em 000. 225.243.168 é divisível por 8 porque 168 ÷ 8 = 21. Por que funciona: 1000 é múltiplo de 8, então a parte anterior aos três últimos dígitos não altera o resto. 2.9 Divisibilidade por 9 Regra: a soma dos algarismos deve ser múltipla de 9. Exemplos: 1.575 → 1+5+7+5=18, e 18 é múltiplo de 9, então é divisível por 9. 426.513 → 4+2+6+5+1+3=21, e 21 não é múltiplo de 9, então não é divisível por 9. Observação prática: se a soma der 9, 18, 27, 36… o número é divisível por 9. Se der 21, 30, 24, não é. 2.10 Divisibilidade por 10 Regra: o número deve terminar em 0. Exemplos: 3.230 e 90 são divisíveis por 10. 3.235 não é divisível por 10. Tabela de referência rápida 1: todo número. 2: termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. 3: soma dos algarismos é múltiplo de 3. 4: dois últimos dígitos múltiplos de 4 (ou 00). 5: termina em 0 ou 5. 6: divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo. 7: (restante) − 2×(último dígito) é múltiplo de 7 (pode repetir). 8: três últimos dígitos múltiplos de 8 (ou 000). 9: soma dos algarismos é múltiplo de 9. 10: termina em 0. Outros critérios importantes Nesta seção, entram conteúdos que normalmente aparecem junto de divisibilidade em provas, mesmo quando o enunciado fala apenas “critérios”. 4.1 Critérios compostos importantes (além de 10) Esses critérios são extremamente úteis porque muitos números são produtos de primos. Divisível por 12: divisível por 3 e por 4 ao mesmo tempo. Divisível por 15: divisível por 3 e por 5 ao mesmo tempo. Divisível por 18: divisível por 2 e por 9 ao mesmo tempo. Divisível por 20: deve ser divisível por 4 e por 5 simultaneamente. Na prática, isso significa que o número deve terminar em 0 e os dois últimos algarismos devem formar um número divisível por 4. Ideia geral: se m = a·b e a e b são coprimos, então “ser divisível por m” equivale a “ser divisível por a e por b”. Isso explica por que 6 funciona como 2 e 3. 4.2 Critério de divisibilidade por 11 (muito cobrado) Regra: faça a soma dos algarismos em posições alternadas e calcule a diferença entre as somas. Se a diferença for múltipla de 11 (incluindo 0), o número é divisível por 11. Exemplo: 3.872 → (3+7) − (8+2) = 10 − 10 = 0 Como 0 é múltiplo de 11, 3.872 é divisível por 11. 4.3 Relação com resto e aritmética modular Os critérios podem ser entendidos como testes de resto: Quando você diz “a soma dos algarismos decide a divisibilidade por 9”, você está dizendo que o resto do número na divisão por 9 é o mesmo resto da soma dos algarismos. Essa visão ajuda em problemas avançados como: “qual é o resto de um número enorme ao dividir por 9?” “um número deixa resto 1 ao dividir por 3; o que isso diz sobre a soma dos dígitos?” Aplicações e dicas de prova 5.1 Economia de tempo e eliminação de alternativas Em múltipla escolha, testar critérios (2, 3, 5, 9, 10) elimina opções rapidamente. Para números grandes, olhar apenas os últimos 1, 2 ou 3 dígitos resolve 2, 4, 5, 8 e 10 de forma imediata. 5.2 Divisibilidade simultânea Muitos enunciados pedem que um número seja divisível por mais de um valor. Exemplo típico: “divisível por 3 e por 5” significa: termina em 0 ou 5 e soma dos dígitos é múltiplo de 3. 5.3 Questões com algarismo desconhecido Essas são muito comuns e exigem usar critérios como equações simples. Para divisibilidade por 3 ou 9, você monta a soma dos dígitos com o algarismo desconhecido e impõe que a soma seja múltipla de 3 ou 9. Exemplo de raciocínio: Número: 4x7 (onde x é um dígito). Para ser divisível por 3, 4 + x + 7 = 11 + x deve ser múltiplo de 3. Então x deve tornar 11+x múltiplo de 3, o que implica x ∈ {1, 4, 7}. 5.4 Critérios “visuais” vs. critérios “procedimentais” Critérios visuais: 2, 5, 10 (olhar o último dígito), 4 (olhar os dois últimos), 8 (olhar os três últimos). Critérios procedimentais: 7 e 11 exigem passos, então precisam de prática para ficar rápidos. 5.5 Checagem de resultados Depois de uma conta, aplicar um critério pode indicar se você errou. Exemplo: se você calcula um número que “deveria ser múltiplo de 9” mas a soma dos dígitos não dá múltiplo de 9, há grande chance de erro de cálculo. Exercícios conceituais guiados (para aprofundar) Exercício 1: explique por que 124.830 é divisível por 9 e por que isso implica que ele é divisível por 3. Você deve usar o fato de que todo múltiplo de 9 é múltiplo de 3, e também a soma dos algarismos. Exercício 2: verifique se 73.584 é divisível por 8 usando apenas os três últimos dígitos. Você deve analisar 584 e decidir se 584 ÷ 8 é inteiro. Exercício 3: encontre todos os dígitos x para que 25x seja divisível por 6. Você deve exigir que o número seja par e que a soma dos algarismos seja múltiplo de 3. Exercício 4: use o critério do 7 para testar 203. Você deve fazer 20 − 2×3 = 14. Como 14 é múltiplo de 7, conclui-se que 203 é divisível por 7. Se aplicar o critério novamente ao número 14, teremos 1 − 2×4 = −7, o que confirma a divisibilidade. Conclusão Critérios de divisibilidade são atalhos poderosos baseados em propriedades do sistema decimal e dos fatores dos números. Eles permitem decidir rapidamente sobre divisões exatas, facilitam fatoração, simplificação de frações e resolução de problemas com múltiplos e divisores. Em provas, o ganho é duplo: você resolve mais rápido e também constrói justificativas matemáticas claras. Para domínio completo, a prática deve focar especialmente nos critérios compostos (como 6, 12, 15 e 18) e nos procedimentais (como 7 e 11), além de exercícios com dígitos desconhecidos, que são onde esses critérios mais “rendem pontos”. Exercícios: O número 234 é divisível por 3? Considere os números abaixo e marque a alternativa em que ambos são divisíveis por 2 e por 5 ao mesmo tempo. I) 40 II) 75 III) 82 IV) 100 Um número de três algarismos, representado por 3AB, onde A e B são algarismos, é divisível por 8 e por 9 ao mesmo tempo. Sabe-se que A + B = 6. Qual o valor de B? Utilizando o critério de divisibilidade por 7, verifique qual dos números abaixo é divisível por 7. Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos for divisível por 8. Qual dos números abaixo NÃO é divisível por 8? Qual é o menor número natural de três algarismos que é divisível por 3, 4 e 5 simultaneamente? A aula destaca que os critérios de divisibilidade por 3 e por 9 estão ligados ao fato de que, no sistema decimal, 10 ≡ 1 (mod 3) e 10 ≡ 1 (mod 9). Qual das alternativas traduz rigorosamente a consequência prática dessa equivalência modular? Seja N = 47a3 (algarismo a desconhecido). Para que N seja divisível por 9, qual deve ser o valor de a? Um controle de estoque gera um código numérico de 6 dígitos do tipo 23b4c6, com b e c algarismos. Exige-se que o código seja divisível por 2, por 3 e por 5 simultaneamente. Quantos pares ordenados (b,c) satisfazem a exigência? Qual é o menor inteiro positivo de 4 dígitos que é divisível por 4 e por 9 ao mesmo tempo? Para a formulação de critérios compostos de divisibilidade, exige-se que os fatores base escolhidos sejam primos entre si (coprimos). Assinale a alternativa que indica a decomposição correta para testar a divisibilidade de um número gigante por 36 e a razão matemática para essa escolha. O critério de divisibilidade por 8 estabelece que basta analisar se os três últimos algarismos do número formam um múltiplo de 8. Assinale a alternativa que explica de maneira técnica e completa a fundamentação algébrica dessa regra. Considere o número inteiro 35A4. Qual deve ser o valor do algarismo A para que este número seja divisível por 9? Qual dos números abaixo é divisível por 2, 3 e 5 ao mesmo tempo? Uma indústria gera lotes de produtos com números de série no formato 123ab2. O controle de qualidade exige que, para ser exportado, o número de série seja um múltiplo exato de 24. Considerando que a e b são algarismos de 0 a 9, qual é o valor máximo possível para a soma a + b? Considere N = 72x5 (isto é, N = 7205 + 10x, com x um algarismo). Para quais valores de x o número N é divisível por 11? Um software de criptografia cria um número gigantesco ao concatenar todos os números inteiros de 1 a 20, ou seja, . Para determinar a chave de acesso, o algoritmo precisa calcular o resto da divisão de por 9. Qual será o valor exato dessa chave? Um analista de sistemas está recuperando registros corrompidos de um banco de dados financeiro. Ele sabe que um determinado código de transação 9a9b1 (onde a e b são algarismos desconhecidos, com a &gt; 0) deve ser divisível por 99 para ser validado pelo sistema. Com base nessa premissa, qual é o valor do produto a×b? <p>O critério de divisibilidade por 7 é um procedimento iterativo, no qual um número N é separado em seu algarismo das unidades (b) e no número formado pelos demais algarismos (a), de modo que N = 10a + b. De acordo com a fundamentação matemática desse critério, o número N será múltiplo de 7 se, e somente se, qual das operações abaixo resultar em um múltiplo de 7?</p> [FGV 2025 — OBMEP] Pedro tem muitas notas de 2 e de 5 reais. Ele precisa pagar uma conta de 20 reais. De quantas maneiras diferentes Pedro pode pagar essa conta sem receber troco? Todo número natural é divisível por 1. Para verificar se um número é divisível por 2, soma-se todos os seus algarismos; se a soma for par, o número é divisível por 2. Um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos é um número múltiplo de 3. Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos formarem um número divisível por 4. Um número é divisível por 5 se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 5. Um número é divisível por 8 se os três últimos algarismos formarem um número divisível por 8. Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for um múltiplo de 3. Um número é divisível por 10 se seu último algarismo for 0 ou 5. Diz-se que A é divisível por B quando existe um número natural q tal que A = B × q. O critério de divisibilidade por 3 fundamenta-se no fato de que 10 é congruente a 0 módulo 3, o que faz com que a soma dos algarismos corresponda ao número.