O domínio da composição e inversão de funções 1) Introdução: funções como processos (e não como fórmulas soltas) Em provas de alto nível (FUVEST, UNICAMP, ENEM e concursos militares), funções aparecem como máquinas de transformação: você coloca um valor na entrada, a máquina processa, e sai um valor na saída. Nessa visão, dois conceitos viram centrais: Composição de funções: encadear máquinas (saída de uma entra na outra). Função inversa: desfazer uma máquina (voltar ao valor original). O candidato forte não apenas calcula $f(g(x))$ mecanicamente; ele controla domínio, imagem, restrições e sabe ler o que a composição ou a inversa significam no problema. 2) Composição de funções: “função de função” 2.1) Definição Dadas funções $f$ e $g$, define-se a composição: $ (f\circ g)(x)=f(g(x)). $ Leitura operacional: $x$ entra em $g$. sai $g(x)$. esse resultado entra em $f$. sai $f(g(x))$. 2.2) Condição de existência (a regra do encaixe) A composição só faz sentido quando o resultado da função interna pode ser “aceito” pela função externa. Em termos de conjuntos, uma condição suficiente (mas não necessária) para que a composição exista para todo $x$ em $\operatorname{Dom}(g)$ é: $ \operatorname{Im}(g)\subseteq \operatorname{Dom}(f). $ A condição necessária e suficiente para que o valor $(f\circ g)(x)$ seja definido é que $g(x) \in \operatorname{Dom}(f)$. Na prática de prova, isso vira um procedimento para encontrar o domínio da função composta: O domínio de $(f\circ g)$ é o conjunto dos $x$ tais que: $x$ está no domínio de $g$ e $g(x)$ está no domínio de $f$. Ou, em forma “de checklist”: $ \operatorname{Dom}(f\circ g)=\{x\in\operatorname{Dom}(g)\mid g(x)\in\operatorname{Dom}(f)\}. $ 2.3) Exemplo de modelagem (encadeando grandezas) Suponha que a massa de um atleta dependa da altura, e a altura dependa do tempo: $M(h)=22h^2$ $h(t)=\dfrac{4t+1}{2t+2}$ A massa em função do tempo é a composição: $ (M\circ h)(t)=M(h(t))=22\left(\frac{4t+1}{2t+2}\right)^2. $ Agora vem o ponto de prova: domínio. $h(t)$ tem denominador $2t+2\neq 0\Rightarrow t\neq -1$. $M(h)=22h^2$ aceita qualquer real como entrada. Logo, o domínio de $(M\circ h)(t)$ é $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$. 3) A ordem importa: $f(g(x))\neq g(f(x))$ Composição não é comutativa. Trocar a ordem geralmente muda tudo. Exemplo clássico: $f(x)=2x+3$ $g(x)=x^2$ Então: $ (f\circ g)(x)=f(x^2)=2x^2+3. $ Mas: $ (g\circ f)(x)=g(2x+3)=(2x+3)^2=4x^2+12x+9. $ Pegadinha comum: $(2x+3)^2\neq 4x^2+9$. O erro vem de “elevar termo a termo” e esquecer do termo cruzado $2\cdot (2x)\cdot 3=12x$. 4) Método dos dois passos: o jeito mais seguro de compor Quando a pressão do tempo e o risco de erro são grandes, use um método fixo. Passo 1: identifique a função externa Escreva a lei de $f$ com um espaço (parênteses) no lugar de $x$: Se $f(x)=2x+3$, então $f(\,\square\,)=2(\,\square\,)+3$. Passo 2: substitua pela função interna Coloque $g(x)$ dentro do espaço: $f(g(x))=2(g(x))+3$. Exemplo de “descobrir a interna”: Se $f(x)=3x-4$ e $f(g(x))=x+4$, então: $ 3g(x)-4=x+4 $ $ 3g(x)=x+8 \Rightarrow g(x)=\frac{x+8}{3}. $ 5) Domínio da composição: a parte mais cobrada e mais esquecida A composição pode restringir o domínio, especialmente quando há: raízes: $\sqrt{\,\cdot\,}$ denominadores: frações logaritmos: $\log(\,\cdot\,)$ Exemplo 1 (fração dentro de raiz) Se: $f(x)=\sqrt{x}$ (domínio: $x\ge 0$) $g(x)=\dfrac{1}{x-2}$ (domínio: $x\neq 2$) Então: $ (f\circ g)(x)=\sqrt{\frac{1}{x-2}}. $ Condições: $x\neq 2$ (para $g$ existir) $\dfrac{1}{x-2}\ge 0$ (para entrar no $\sqrt{\cdot}$) Como $\dfrac{1}{x-2}\ge 0$ acontece quando $x-2>0\Rightarrow x>2$ (não pode ser 0), o domínio final é: $ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(2,+\infty). $ Exemplo 2 (logaritmo) Se: $f(x)=\log(x)$ (domínio: $x>0$) $g(x)=x^2-9$ (domínio: todos os reais) Então: $ (f\circ g)(x)=\log(x^2-9) $ e o domínio exige: $ x^2-9>0 \Rightarrow x^2>9 \Rightarrow x<-3 \text{ ou } x>3. $ Logo: $ \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-3)\cup(3,+\infty). $ Regra de prova: o domínio da composta é sempre o domínio da interna filtrado pelas restrições da externa aplicadas em $g(x)$. 6) Função inversa: reversibilidade e condições 6.1) Ideia central A inversa “desfaz” a ação da função original. Se $f$ leva $x$ para $y$: $ y=f(x), $ a inversa faz o caminho de volta: $ x=f^{-1}(y). $ A propriedade de reversão é: $ f(f^{-1}(x))=x \quad \text{e} \quad f^{-1}(f(x))=x, $ respeitando os domínios apropriados. 6.2) Quando a inversa existe? (injeção e sobrejeção) Para uma função ter inversa como função, ela precisa ser bijetora. Injetiva: valores diferentes no domínio geram imagens diferentes. $x1\neq x2 \Rightarrow f(x1)\neq f(x2)$. Sobrejetiva: todo elemento do contradomínio é atingido. $\operatorname{Im}(f)=\text{Contradomínio}$. Em muitos problemas de ensino médio, o foco prático é: verificar injeção (para garantir inversa) e entender que o contradomínio “padrão” pode ser ajustado para tornar a função sobrejetiva. Teste da reta horizontal (injeção em gráfico) Uma função é injetiva se toda reta horizontal cruza o gráfico no máximo uma vez. Exemplos: $f(x)=x^2$ em $\mathbb{R}$ não é injetiva (pois $f(-2)=f(2)$). Mas $f(x)=x^2$ em $[0,+\infty)$ é injetiva (a restrição de domínio resolve o problema) e então admite inversa. Pegadinha de prova: “a função $x^2$ não tem inversa” é falso sem contexto. Ela não tem inversa em $\mathbb{R}$, mas tem inversa se você restringir o domínio. 7) Como encontrar a lei da inversa (algoritmo padrão) Para achar $f^{-1}$: Escreva $y=f(x)$. Troque $x$ por $y$ e $y$ por $x$. Isole $y$. Troque $y$ por $f^{-1}(x)$. Exemplo 1 (afim) Se $f(x)=2x-5$: $y=2x-5$ troque: $x=2y-5$ isole: $2y=x+5\Rightarrow y=\dfrac{x+5}{2}$ Logo: $ f^{-1}(x)=\frac{x+5}{2}. $ Exemplo 2 (exponencial e logaritmo) Se $y=a^x$ (com $a>0$, $a\neq 1$): troque: $x=a^y$ aplique a definição de log: $ y=\loga(x). $ Logo, a inversa de $a^x$ é $\loga(x)$. Exemplo 3 (quadrática com restrição) Se $f(x)=x^2$ com domínio $x\ge 0$: $y=x^2$ troque: $x=y^2$ isole: $y=\sqrt{x}$ (escolhe-se a raiz positiva por causa do domínio) Então: $ f^{-1}(x)=\sqrt{x}. $ Pegadinha: sem a restrição $x\ge 0$, apareceriam duas raízes ($\pm\sqrt{x}$), o que impediria a inversa como função. 8) Relações entre $f$ e $f^{-1}$: tabela mental indispensável Se $(a,b)$ está no gráfico de $f$, então $(b,a)$ está no gráfico de $f^{-1}$. O domínio de $f$ vira a imagem de $f^{-1}$. A imagem de $f$ vira o domínio de $f^{-1}$. Os gráficos são simétricos em relação a $y=x$. Isso permite resolver questões sem encontrar a lei explícita da inversa. 9) Atalho poderoso: calcular $f^{-1}(n)$ sem achar $f^{-1}(x)$ Se a questão pede um valor numérico, como $f^{-1}(7)$, muitas vezes o melhor caminho é: resolver $f(x)=7$. Justificativa: Se $f^{-1}(7)=x$, então necessariamente $f(x)=7$. Exemplo: Se $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ e pedem $f^{-1}(3)$: Resolva $\dfrac{x-1}{x+2}=3$. $x-1=3x+6\Rightarrow -2x=7\Rightarrow x=-\dfrac{7}{2}$. Logo, $f^{-1}(3)=-\dfrac{7}{2}$. Esse atalho economiza tempo e reduz erros algébricos, principalmente em funções racionais. 10) Questões “masterclass”: mudança de variável em composição implícita Em problemas avançados, a função aparece escondida em uma expressão composta, e você precisa reescrever em termos de uma nova variável. Exemplo: $ f(3^{x-1})=\frac{x+2}{x-2}. $ Objetivo: escrever $f(k)$ em função de $k$. Faça a mudança de variável: $ k=3^{x-1}. $ Isole $x$ usando logaritmo: $ x-1=\log3(k)\Rightarrow x=\log3(k)+1. $ Substitua na expressão: Numerador: $x+2=\log3(k)+1+2=\log3(k)+3$ Denominador: $x-2=\log3(k)+1-2=\log3(k)-1$ Reescreva constantes como log para compactar (quando útil): $3=\log3(27)$, então $\log3(k)+3=\log3(k)+\log3(27)=\log3(27k)$. =\log3(3)$, então $\log3(k)-1=\log3(k)-\log3(3)=\log3\left(\frac{k}{3}\right)$. Logo: $ f(k)=\frac{\log3(27k)}{\log3\left(\frac{k}{3}\right)}. $ Como $\dfrac{\logb(A)}{\logb(B)}=\logB(A)$, obtemos: $ f(k)=\log{\frac{k}{3}}(27k). $ Ponto de prova: além de manipular log, você precisa manter consciência de domínio: $k=3^{x-1}>0$ sempre. ainda assim, a base $\frac{k}{3}$ do log final deve ser

gt;0$ e $\neq 1$ (logo $k\neq 3$), e o logaritmando $27k>0$ ok. 11) Caderno de exercícios comentados Exercício 1 (composição direta) Dadas $f(x)=x+1$ e $g(x)=3x$, determine $(g\circ f)(x)$. $g(f(x))=g(x+1)=3(x+1)=3x+3$. Resposta: $ (g\circ f)(x)=3x+3. $ Exercício 2 (composição e comutatividade: achar parâmetro) Se $f(x)=3-4x$ e $g(x)=3x+m$, determine $m$ tal que $f(g(x))=g(f(x))$. Calcule: $f(g(x))=3-4(3x+m)=3-12x-4m$ $g(f(x))=3(3-4x)+m=9-12x+m$ Iguale: $ 3-12x-4m=9-12x+m $ Cancele $-12x$: $ 3-4m=9+m \Rightarrow -5m=6 \Rightarrow m=-\frac{6}{5}. $ Exercício 3 (inversibilidade em conjunto finito) Verifique se $f: A\to B$ com $f(x)=x^2+1$ e $A=\{-2,-1,0,1,2\}$ é inversível. Imagens: $f(-2)=5$ e $f(2)=5$. Dois elementos diferentes com a mesma imagem ⇒ não é injetiva ⇒ não admite inversa (como função) nesse domínio. Pegadinha: em conjuntos finitos, basta encontrar uma repetição de imagem para destruir a injeção. Vídeo Complementar Segue uma vídeo aula sobre o tema, disponibilizada no Youtube, de um professor que não é vinculado ao Tuco-Tuco, mas que achamos interessante para que você possa complementar seus estudos: <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/kROKvsKLxKk?si=mFEulM5FP7KNVeg1" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> <div class="video-container"> <iframe src="https://www.youtube.com/embed/swZRlLUMuwU?si=jii74Ekx6gZCKhNh" title="YouTube video player" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture; web-share" allowfullscreen></iframe> </div> Exercícios: Considere as funções f(x) = x + 4 e g(x) = 2x. Calcule o valor de (g ∘ f)(3). Dadas as funções $f(x)=2x+3$ e $g(x)=x^2$, qual é a expressão correta para a função composta $(f\circ g)(x)$? Seja $f(x)=3x-4$. Qual é a lei de formação da sua função inversa $f^{-1}(x)$? Graficamente, qual é a relação de simetria observada entre o gráfico de uma função $f$ e o gráfico de sua inversa $f^{-1}$? Se $f(g(x))=x$ e $g(f(x))=x$, qual é a relação correta entre as funções $f$ e $g$? Se $f(x)=2x-10$, determine o valor numérico de $f^{-1}(2)$. Qual é a inversa da função exponencial $f(x)=a^x$, com $a>0$ e $a\neq1$? Se $f(x)=x+1$ e $g(x)=x-1$, qual é o resultado da composição $(f\circ g)(x)$? Se $f(x)=\log_3 x$, qual é a sua função inversa? Considere as funções _f(x) = x + 2_ e _g(x) = 3x_. Qual é o valor de **(f ∘ g)(2)**? Seja _f(x) = x² + 1_ e _g(x) = 2x - 3_. Qual é a expressão geral para **(f ∘ g)(x)**? A determinação do domínio de uma função composta exige a análise rigorosa das restrições tanto da função interna quanto da externa. Dadas as funções reais $f(x) = \sqrt{x - 2}$ e $g(x) = \frac{1}{x - 5}$, qual é o domínio de validade da função composta $(f \circ g)(x)$ no conjunto dos números reais? A operação de composição de funções, em regra geral, não obedece à propriedade comutativa. Considere as funções afins $f(x) = -2x + 5$ e $g(x) = mx + 3$, em que $m$ é um parâmetro real constante. Determine o valor exato de $m$ para que a igualdade $f(g(x)) = g(f(x))$ seja verdadeira para todo $x \in \mathbb{R}$. Para que uma função quadrática admita uma função inversa, seu domínio deve ser restrito de modo a garantir a injetividade (apenas um trecho estritamente monótono da parábola). Seja a função $f(x) = x^2 - 4x + 5$, com domínio restrito ao intervalo $[2, +\infty)$. Qual é a expressão algébrica correta para a sua função inversa $f^{-1}(x)$? O domínio de uma função composta com logaritmos depende fortemente das propriedades de positividade exigidas pelo logaritmando. Sejam as funções reais $f(x) = \log_{10}(x)$ e $g(x) = \frac{x + 2}{x - 1}$. Identifique o conjunto que representa o domínio de existência da função composta $(f \circ g)(x)$. As simetrias gráficas e lógicas entre uma função e sua respectiva inversa fornecem dados de mapeamento vitais sem a necessidade da lei algébrica. Seja $f$ uma função real e bijetora. Sabe-se que o ponto de coordenadas cartesianas $(3, 8)$ pertence ao gráfico de $f(x)$. A partir de $f$, define-se a função auxiliar $g(x) = 2f^{-1}(x) - 1$. Qual dos pontos abaixo pertence, com certeza, ao gráfico da função $g(x)$? Dada a equação $f(3^{x-1}) = K$, onde $f$ é uma função bijetora (invertível), para isolar o valor de $x$ em termos de $K$, qual é a sequência de ferramentas matemáticas necessárias? Seja a função _h(x) = 3x - 4_. Qual é a inversa de _h(x)_, e qual é o valor de **(h ∘ h⁻¹)(5)**? Dada a função f(x) = 5x - 2, qual é sua função inversa f⁻¹(x)? Técnicas de mudança de variável são cruciais para determinar leis de formação de funções definidas implicitamente. Um pesquisador obteve a identidade funcional $f(x + 1) = x^2 - 3x + 2$, válida para qualquer $x \in \mathbb{R}$. Utilizando uma mudança de variável para descobrir a expressão explícita de $f(x)$, determine quais são as raízes da equação $f(x) = 0$. O domínio das propriedades de funções inversas permite calcular valores numéricos específicos sem a necessidade de isolar a variável para encontrar a lei de formação global $f^{-1}(x)$. Dada a função real e bijetora $f$ definida por $f(2x - 1) = \frac{4x + 1}{x - 3}$ (com $x \neq 3$), determine o valor exato numérico de $f^{-1}(5)$. O algoritmo de determinação da expressão da função inversa em expressões racionais exige manipulação algébrica cuidadosa. Dada a função f(x) = (2x - 3)/(x + 4), definida para x ≠ -4, determine a lei de formação de sua função inversa f⁻¹(x).