Impulso e Quantidade de Movimento: Conservação e Colisões Revisão dos Conceitos Fundamentais Na aula anterior, estabelecemos as bases do impulso e da quantidade de movimento. Recordemos: Quantidade de movimento (momento linear): $\vec{Q} = m\vec{v}$, grandeza vetorial que mede a "quantidade de movimento" de um corpo. Unidade SI: $\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Impulso de uma força constante: $\vec{I} = \vec{F} \Delta t$, vetor com mesma direção e sentido da força. Unidade SI: $\text{N}\cdot\text{s}$ (equivalente a $\text{kg}\cdot\text{m/s}$). Impulso de força variável: $\vec{I} = \int \vec{F}\, dt$, numericamente igual à área sob a curva $F \times t$. Teorema do Impulso: $\vec{I}{\text{resultante}} = \Delta \vec{Q} = \vec{Q}f - \vec{Q}i$. Agora, aprofundaremos esses conceitos, explorando suas consequências mais importantes, especialmente a conservação da quantidade de movimento e sua aplicação em colisões e sistemas de massa variável. Sistemas Isolados e Conservação da Quantidade de Movimento 2.1 Definição de sistema isolado Um sistema é dito isolado quando a resultante das forças externas que atuam sobre ele é nula. Isso não significa que não existam forças internas (entre as partes do sistema), mas sim que o ambiente não exerce força resultante sobre o sistema como um todo. Nessas condições, o teorema do impulso aplicado ao sistema total nos dá: $\vec{I}{\text{ext}} = \Delta \vec{Q}{\text{total}}$ Como $\vec{I}{\text{ext}} = \vec{0}$ (força externa resultante nula), temos: $\Delta \vec{Q}{\text{total}} = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad \vec{Q}{\text{total, inicial}} = \vec{Q}{\text{total, final}}$ Essa é a lei da conservação da quantidade de movimento: em um sistema isolado, a quantidade de movimento total permanece constante (vetorialmente). 2.2 Importância da conservação A conservação da quantidade de movimento é uma das leis mais fundamentais da física, válida mesmo em situações onde as forças internas são desconhecidas ou muito complexas (como em colisões, explosões, interações subatômicas). Ela independe da natureza das forças internas, desde que o sistema seja isolado. Exemplo clássico: Dois patinadores em repouso sobre gelo sem atrito se empurram mutuamente. As forças que um exerce sobre o outro são internas ao sistema (patinadores), e o peso é equilibrado pela normal (forças externas se anulam verticalmente). Portanto, a quantidade de movimento total inicial (zero) deve permanecer zero após o empurrão. Assim, se um patinador de massa $m1$ adquire velocidade $\vec{v}1$, o outro de massa $m2$ adquire velocidade $\vec{v}2$ tal que $m1\vec{v}1 + m2\vec{v}2 = \vec{0}$, ou seja, $\vec{v}2 = -\frac{m1}{m2}\vec{v}1$ (movem-se em sentidos opostos). 2.3 Conservação em cada direção A quantidade de movimento é um vetor. Em muitas situações, o sistema pode não ser totalmente isolado, mas pode ser isolado em uma direção específica. Por exemplo, em uma colisão sobre uma superfície horizontal com atrito desprezível, as forças externas verticais (peso e normal) se equilibram, mas na horizontal pode não haver força externa. Nesse caso, a componente horizontal da quantidade de movimento total se conserva, embora a vertical possa variar (se houver força externa na vertical). Essa ideia é muito útil na resolução de problemas. Colisões Colisões são interações de curta duração entre corpos, onde as forças internas são muito intensas comparadas às forças externas. Por isso, durante o curto intervalo da colisão, podemos considerar o sistema aproximadamente isolado, e a quantidade de movimento total se conserva. Já a energia cinética pode ou não se conservar, dependendo do tipo de colisão. 3.1 Classificação das colisões | Tipo de colisão | Conservação de $\vec{Q}$ | Conservação de $Ec$ | Características | |-----------------|---------------------------|----------------------|-----------------| | Elástica | Sim | Sim | Os corpos se separam após o choque, sem deformação permanente. Exemplo: colisão entre bolas de bilhar (aproximadamente). | | Inelástica | Sim | Não | Há dissipação de energia (deformação, calor, som). Os corpos podem se separar ou não. | | Perfeitamente inelástica | Sim | Não (máxima dissipação) | Os corpos seguem unidos após a colisão. Exemplo: um projétil que se aloja em um bloco. | 3.2 Colisões elásticas em uma dimensão Em uma colisão elástica unidimensional entre dois corpos de massas $m1$ e $m2$ com velocidades iniciais $v{1i}$ e $v{2i}$, as velocidades finais $v{1f}$ e $v{2f}$ podem ser obtidas resolvendo o sistema: Conservação da quantidade de movimento: $m1 v{1i} + m2 v{2i} = m1 v{1f} + m2 v{2f}$ Conservação da energia cinética: $\frac12 m1 v{1i}^2 + \frac12 m2 v{2i}^2 = \frac12 m1 v{1f}^2 + \frac12 m2 v{2f}^2$ A solução geral (que pode ser deduzida) é: $v{1f} = \frac{m1 - m2}{m1 + m2} v{1i} + \frac{2 m2}{m1 + m2} v{2i}$ $v{2f} = \frac{2 m1}{m1 + m2} v{1i} + \frac{m2 - m1}{m1 + m2} v{2i}$ Casos particulares importantes: Se $m1 = m2$, então $v{1f} = v{2i}$ e $v{2f} = v{1i}$ (os corpos trocam de velocidades). Se $m2$ está inicialmente em repouso ($v{2i}=0$): $v{1f} = \frac{m1 - m2}{m1 + m2} v{1i}, \quad v{2f} = \frac{2 m1}{m1 + m2} v{1i}$ - Se $m1 = m2$: $v{1f}=0$, $v{2f}=v{1i}$ (o primeiro para, o segundo sai com a velocidade do primeiro). - Se $m1 \gg m2$: $v{1f} \approx v{1i}$, $v{2f} \approx 2v{1i}$ (um corpo muito massivo continua praticamente com a mesma velocidade, e o leve sai com o dobro da velocidade do massivo). Nota importante: Este caso modela a colisão de uma partícula leve com uma parede extremamente massiva (considerada como $m1$). A partícula leve ricocheteia com velocidade aproximadamente igual a $-2v{1i}$ (invertendo o sentido), ou seja, com módulo aproximadamente $2v{1i}$. Esse resultado é matematicamente correto para o modelo de partícula轻轻地 colidindo com uma parede fixa de massa infinita. É importante não confundir este cenário com o caso de dois corpos de massas comparáveis em um sistema isolado com momento total zero, como o exemplo dos patinadores. - Se $m1 \ll m2$: $v{1f} \approx -v{1i}$, $v{2f} \approx 0$ (o corpo leve ricocheteia com velocidade de mesmo módulo e sentido oposto). 3.3 Coeficiente de restituição Para colisões (elásticas ou inelásticas), define-se o coeficiente de restituição $e$ como: $e = \frac{|v{2f} - v{1f}|}{|v{2i} - v{1i}|}$ Interpretação: $e = 1$: colisão perfeitamente elástica (velocidade relativa de afastamento igual à de aproximação). $0 < e < 1$: colisão inelástica (parte da energia é dissipada). $e = 0$: colisão perfeitamente inelástica (os corpos ficam unidos, velocidade relativa final nula). O coeficiente de restituição permite relacionar as velocidades sem usar a conservação da energia (que não vale em colisões inelásticas). Em uma colisão unidimensional, podemos escrever: $v{2f} - v{1f} = -e (v{2i} - v{1i})$ Essa equação, junto com a conservação da quantidade de movimento, permite resolver problemas de colisões inelásticas. 3.4 Exemplo resolvido: colisão perfeitamente inelástica Um carro de massa $m1 = 800\,\text{kg}$ viaja a $v1 = 20\,\text{m/s}$ e colide frontalmente com um carro de massa $m2 = 1200\,\text{kg}$ que vinha em sentido contrário a $v2 = 10\,\text{m/s}$. Após a colisão, os carros ficam engavetados. Determine a velocidade do conjunto imediatamente após a colisão e a energia dissipada. Solução: Adotando como positivo o sentido do primeiro carro: Quantidade de movimento inicial: $Qi = m1 v1 + m2 (-v2) = 800 \cdot 20 + 1200 \cdot (-10) = 16000 - 12000 = 4000\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. Massa total: $M = m1 + m2 = 2000\,\text{kg}$. Velocidade final: $V = Qi / M = 4000 / 2000 = 2\,\text{m/s}$ (no sentido do primeiro carro). Energia cinética inicial: $E{ci} = \frac12 \cdot 800 \cdot 20^2 + \frac12 \cdot 1200 \cdot 10^2 = \frac12 \cdot 800 \cdot 400 + \frac12 \cdot 1200 \cdot 100 = 160000 + 60000 = 220000\,\text{J}$. Energia cinética final: $E{cf} = \frac12 \cdot 2000 \cdot 2^2 = \frac12 \cdot 2000 \cdot 4 = 4000\,\text{J}$. Energia dissipada: $E{diss} = E{ci} - E{cf} = 220000 - 4000 = 216000\,\text{J}$ (cerca de 98% da energia inicial foi dissipada em deformação e calor). Colisões em Duas Dimensões Quando as velocidades não são colineares, a análise vetorial se torna essencial. A conservação da quantidade de movimento é aplicada separadamente em cada eixo coordenado. Exemplo: Uma bola de massa $m1 = 0,2\,\text{kg}$ com velocidade $v1 = 3\,\text{m/s}$ na direção $+x$ colide inelasticamente com outra bola de massa $m2 = 0,3\,\text{kg}$ em repouso. Após a colisão, a primeira bola é desviada de um ângulo $\theta1 = 30^\circ$ acima do eixo $x$, com velocidade $v1' = 2\,\text{m/s}$. Determine a velocidade (módulo e direção) da segunda bola após a colisão. Observação: Para uma colisão perfeitamente elástica em duas dimensões, seria necessário usar simultaneamente a conservação da quantidade de movimento (em $x$ e $y$) e a conservação da energia cinética, o que resultaria em um sistema de três equações. Como apenas a quantidade de movimento é utilizada nesta solução, a colisão é necessariamente inelástica, ou seja, há dissipação de energia. Solução: Conservação de $Q$ em $x$: $m1 v1 = m1 v1' \cos\theta1 + m2 v2' \cos\theta2$ $0,2 \cdot 3 = 0,2 \cdot 2 \cdot \cos30^\circ + 0,3 \cdot v2' \cos\theta2$ $0,6 = 0,2 \cdot 2 \cdot 0,866 + 0,3 v2' \cos\theta2$ $0,6 = 0,3464 + 0,3 v2' \cos\theta2$ $0,3 v2' \cos\theta2 = 0,2536$ $v2' \cos\theta2 = 0,8453$ (1) Conservação de $Q$ em $y$ (inicialmente zero): $0 = m1 v1' \sin\theta1 - m2 v2' \sin\theta2$ $0 = 0,2 \cdot 2 \cdot \sin30^\circ - 0,3 v2' \sin\theta2$ $0 = 0,2 \cdot 2 \cdot 0,5 - 0,3 v2' \sin\theta2$ $0 = 0,2 - 0,3 v2' \sin\theta2$ $0,3 v2' \sin\theta2 = 0,2$ $v2' \sin\theta2 = 0,6667$ (2) Dividindo (2) por (1): $\tan\theta2 = 0,6667 / 0,8453 = 0,7887 \Rightarrow \theta2 \approx 38,3^\circ$ (abaixo do eixo $x$, pois $\sin\theta2 >0$ e $\cos\theta2>0$, então $\theta2$ é positivo, mas o sinal negativo em $y$ indica que a segunda bola vai para baixo, então $\theta2$ é negativo se medido a partir do eixo $x$ no sentido anti-horário; melhor expressar como $-38,3^\circ$ ou $38,3^\circ$ para baixo). De (1): $v2' = 0,8453 / \cos38,3^\circ = 0,8453 / 0,785 \approx 1,077\,\text{m/s}$. Verificação da energia cinética: $E{ci} = \frac12 \cdot 0,2 \cdot 3^2 = 0,9\,\text{J}$. $E{cf} = \frac12 \cdot 0,2 \cdot 2^2 + \frac12 \cdot 0,3 \cdot (1,077)^2 \approx 0,4 + 0,174 = 0,574\,\text{J}$. A energia cinética diminuiu (de 0,9 J para aproximadamente 0,574 J), confirmando que a colisão é inelástica, como esperado pela resolução. Sistemas de Massa Variável: Propulsão de Foguetes Um caso fascinante de aplicação da quantidade de movimento é o movimento de corpos com massa variável, como foguetes que ejetam combustível. A equação fundamental é obtida considerando o sistema foguete + combustível ejetado. Considere um foguete de massa $M$ (incluindo combustível) que se move com velocidade $\vec{v}$ em relação a um referencial inercial. Em um intervalo $dt$, ele ejeta uma massa $dm$ (positiva, mas a massa do foguete diminui) com velocidade $\vec{u}$ em relação ao foguete (geralmente na direção oposta ao movimento). A velocidade do combustível ejetado em relação ao referencial é $\vec{v} - \vec{u}$ (se $\vec{u}$ for o vetor velocidade de ejeção relativa, apontando para trás). Aplicando a conservação da quantidade de movimento ao sistema foguete + combustível ejetado, e desprezando forças externas, obtém-se a equação do foguete: $M \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{u} \frac{dM}{dt}$ O termo $\vec{u} \frac{dM}{dt}$ é chamado de empuxo. Como $dM/dt$ é negativo (a massa diminui), o empuxo tem sentido oposto a $\vec{u}$, ou seja, para frente. Integrando, para movimento unidimensional com $\vec{u}$ constante em módulo e direção oposta ao movimento, obtém-se a equação de Tsiolkovsky: $vf = vi + u \, \ln\left(\frac{Mi}{Mf}\right)$ onde $Mi$ e $Mf$ são as massas inicial e final do foguete. Exemplo: Um foguete tem massa inicial 0000\,\text{kg}$, dos quais $8000\,\text{kg}$ são combustível. A velocidade de exaustão dos gases é $u = 2000\,\text{m/s}$. Se ele parte do repouso, qual a velocidade final após queimar todo o combustível? $Mi = 10000$, $Mf = 2000$, $\ln(Mi/Mf) = \ln(5) \approx 1,609$. $vf = 0 + 2000 \cdot 1,609 = 3218\,\text{m/s}$. Relação entre Quantidade de Movimento e Energia Cinética Já vimos que $Ec = \frac{Q^2}{2m}$. Essa relação é útil para relacionar as duas grandezas. Em colisões, muitas vezes é conveniente trabalhar com $Q$ e $Ec$ simultaneamente. Importante: A energia cinética é escalar positiva; a quantidade de movimento é vetorial. Em uma colisão, a energia cinética pode ser dissipada, mas a quantidade de movimento total sempre se conserva em sistema isolado. Quadro comparativo: | Grandeza | Símbolo | Fórmula | Unidade | Natureza | Conservação em sistema isolado? | |----------|---------|---------|---------|----------|----------------------------------| | Quantidade de movimento | $\vec{Q}$ | $m\vec{v}$ | $\text{kg}\cdot\text{m/s}$ | Vetorial | Sim | | Energia cinética | $E_c$ | $\frac12 m v^2$ | $\text{J}$ | Escalar | Não necessariamente (só em colisões elásticas) | Exercícios: Sobre a quantidade de movimento, assinale a alternativa correta. Um ciclista está se deslocando em linha reta com velocidade constante de 5 m/s. Se a massa total do ciclista com a bicicleta é de 80 kg, qual é a quantidade de movimento desse sistema? Duas bolas de tênis idênticas, cada uma com massa de 0,06 kg, são lançadas em direções opostas, ambas com velocidade de 10 m/s. Qual é a quantidade de movimento de cada bola? Um corpo de massa $m$ move-se com velocidade $v$. Se a sua velocidade vetorial for alterada para $-v$ em um intervalo de tempo $\Delta t$, qual será o módulo da variação da sua quantidade de movimento? Dois corpos, A e B, possuem a mesma quantidade de movimento linear. Sabendo que a massa de A é o dobro da massa de B ($m_A=2\cdot m_B$), qual a relação entre suas energias cinéticas ($E_{cA}$ e $E_{cB}$)? Um gráfico da Força Resultante ($F$) em função do tempo ($t$) apresenta a forma de um triângulo retângulo com base de $4\,s$ e altura de 0\,N$. Qual o impulso total comunicado ao corpo nesse intervalo? Um sistema isolado é composto por dois patinadores inicialmente em repouso. O patinador A (60 kg) empurra o patinador B (90 kg). Se o patinador B adquire uma velocidade de 2 m/s para a direita, qual será a velocidade do patinador A? (Considere a direita como positiva) Se a intensidade da força resultante *constante* sobre uma partícula for duplicada e o tempo de sua atuação for reduzido à quarta parte, o que acontece com o impulso por ela comunicado? Em uma colisão perfeitamente inelástica entre dois corpos que se movem na mesma direção, o que se pode afirmar corretamente sobre o sistema? Um caminhão de 0$ toneladas a $72\,km/h$ possui uma quantidade de movimento de módulo igual a: Uma partícula A de massa $m$ colide frontalmente e de forma perfeitamente elástica com uma partícula B de massa $3m$, inicialmente em repouso no laboratório. Determine a fração percentual da energia cinética inicial da partícula A que é transferida para a partícula B após o impacto. Em um ambiente de microgravidade (vácuo ideal livre de influências externas), um projétil de massa $M = 0,6 \text{ kg}$, inicialmente em repouso, explode dividindo-se em três fragmentos de massas iguais ($m = 0,2 \text{ kg}$ cada). Após a explosão, observa-se que o fragmento 1 se afasta para o Norte com velocidade de $40 \text{ m/s}$, enquanto o fragmento 2 se afasta para o Leste com velocidade de $30 \text{ m/s}$. Determine a velocidade escalar do terceiro fragmento e a energia mecânica total liberada na explosão. Uma pequena esfera de aço é solta do repouso de uma altura $H = 20 \text{ m}$ em direção a um piso rígido horizontal. Após o impacto inelástico com o piso, a esfera rebate verticalmente e atinge uma altura máxima $h = 5 \text{ m}$. Assumindo a ausência de resistência do ar em todo o movimento, determine o coeficiente de restituição $e$ da colisão entre a esfera e o piso. Duas partículas, P1 e P2, de massas $m_1 = 3 \text{ kg}$ e $m_2 = 2 \text{ kg}$, movem-se em trajetórias colineares ao longo de uma pista horizontal idealmente lisa. A partícula P1 viaja com velocidade $v_1 = 4 \text{ m/s}$ ao encontro da partícula P2, que viaja em sentido oposto com velocidade $v_2 = -6 \text{ m/s}$. As duas partículas colidem em um choque parcialmente inelástico com coeficiente de restituição $e = 0,4$. Considerando o sistema isolado de forças externas na direção do movimento, determine a velocidade do centro de massa do sistema ($V_{CM}$) imediatamente após a colisão. Uma partícula A de massa $m$ move-se no plano $xy$ com velocidade $v_0$ na direção do eixo $x$ e colide elasticamente com uma partícula B de mesma massa $m$, que repousava na origem. Após a colisão, a partícula A é defletida e segue uma trajetória que forma um ângulo de $60^\circ$ com a direção original (eixo $x$). Sabendo que a colisão não foi perfeitamente frontal (espalhamento bidimensional), determine a velocidade final escalar da partícula A em função de $v_0$. Um foguete de pesquisa no vácuo espacial, onde atua sob nula influência gravitacional e livre de resistência intergaláctica, possui uma massa inicial $M_0$ composta em grande parte por propelente. O foguete parte do repouso e os motores ejetam gases de escape com uma velocidade de exaustão relativa constante de $u = 2000 \text{ m/s}$. De acordo com a equação clássica de Tsiolkovsky, determine a fração da massa inicial (expressa como $(M_0 - M_f)/M_0$) que deve ser queimada e expelida para que a sonda alcance uma velocidade final $\Delta v = 2000 \text{ m/s}$. (Adote $e$ como o número de Euler). Um dispositivo de pêndulo balístico é usado para medir a velocidade de projéteis. Um projétil de massa $m = 20 \text{ g}$ viaja horizontalmente com velocidade $v$ e se aloja em um bloco de madeira de massa $M = 1,98 \text{ kg}$, inicialmente em repouso. O bloco está suspenso por uma haste rígida de massa desprezível e comprimento $L = 1 \text{ m}$. Após o impacto inelástico, o conjunto sobe pendularmente até uma deflexão máxima $\theta = 60^\circ$ em relação à vertical, quando atinge repouso instantâneo. Adotando $g = 10 \text{ m/s}^2$, calcule a velocidade inicial $v$ do projétil. Um carro de massa 1000 kg colide frontalmente com um caminhão de massa 3000 kg, que se movem em sentidos opostos ao longo de uma mesma reta. O carro desloca-se a 20 m/s para a direita e o caminhão a 10 m/s para a esquerda. Considerando que a colisão é perfeitamente inelástica, qual será a velocidade dos veículos após a colisão? (Considere positivo para a direita). Uma bola de bilhar de massa 0,5 kg, movendo-se a uma velocidade de 2 m/s em linha reta, colide elasticamente com outra bola de bilhar idêntica, inicialmente em repouso. Após a colisão, a primeira bola faz um ângulo de 30° com sua direção original. Qual é a velocidade da segunda bola após a colisão? Um bloco de massa $m_1 = 2 \text{ kg}$ desloca-se sobre uma superfície horizontal lisa com velocidade de 0 \text{ m/s}$ e colide de forma perfeitamente inelástica com um bloco de massa $m_2 = 3 \text{ kg}$ que se encontrava em repouso. Após o impacto, o conjunto formado pelos dois blocos passa a transitar por uma nova superfície horizontal rugosa, cujo coeficiente de atrito cinético é $\mu_c = 0,4$. Adotando $g = 10 \text{ m/s}^2$, determine a distância total percorrida pelo conjunto na superfície rugosa até parar. Por que o uso de airbags em veículos reduz a força média sobre os passageiros em uma colisão? Considere um projétil de 20 g atingindo um bloco de madeira com velocidade de 300 m/s e parando em seu interior. Desprezando outras forças durante a colisão, qual é o módulo do impulso da força resultante sobre o projétil? (Ou, de forma equivalente: qual é o módulo da variação da quantidade de movimento do projétil?) Um objeto de massa 2 kg cai verticalmente e atinge o solo com velocidade de 10 m/s, retornando com velocidade de 5 m/s. Qual é o módulo da variação da quantidade de movimento desse objeto?